Динамика вихревых колец с закручиванием (стр. 3 )

               (3)

Theorem 1. Assume that is a reflexive Banach space and is a Hilbert space. Let the system (1) be exactly controllable on some Then the system (1) is л-reducible.

References

Curtain R. F., Pritchard A. J. Infinite dimensional linear systems theory. Springer, 1978. Daleckii Ju. L., Krein M. G. Stability of solutions of differential equations in Banach space. American Mathematical Society, 1974.

Мзедавее Асаад Насер, Удмуртский государственный университет, *****@***com

Научный руководитель — , Удмуртский государственный университет, доцент, к. ф.-м. н.

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ,

ПОРОЖДЕННОЙ ТРЕХМЕРНЫМ УРАВНЕНИЕМ ЛАПЛАСА

ON NUMERICAL SOLUTION OF OPTIMIZATION TASK

GENERATED BY THE TRIVARIATE LAPLACE EQUATION

Аннотация. Предлагаемый метод построения разностных схем основан на минимизации функционала невязок, заданного в пространстве специальных трехмерных интерполяционных сплайнов лагранжевого типа. В качестве решения трехмерного уравнения Лапласа фигурирует оптимальный сплайн с наименьшей невязкой. Получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов этого сплайна. Показано, что она имеет единственное решение. Численное решение системы сводится к реализации метода прогонки. Имеет место устойчивость предложенного метода.

Abstract. The proposed method for constructing difference schemes is based on minimizing the residual functional defined in the space of special three-dimensional interpolation splines of the Lagrangian type. As the solution of the three-dimensional Laplace equation, an optimal spline with the smallest discrepancy appears. A system of linear algebraic equations is obtained for the coefficients of this spline. It is shown that it has a unique solution. The numerical solution of the system reduces to the implementation of the sweep method. The stability of the proposed method holds.

Ключевые слова: трехмерное уравнение Лапласа, интерполяция, многомерный сплайн.

Keywords: trivariate Laplace equation, interpolation, multivariate spline.

Работа посвящена численному решению краевой задачи для уравнения Лапласа заданной в трехмерном параллелепипеде. Процедура решения данной задачи сводится к поиску функции такой, что

Последняя задача, в свою очередь, порождает задачу поиска оптимального сплайна задачи

                (1)

Через обозначено пространство, состоящее из допустимых сплайнов, зависящих от коэффициентов (через обозначен параметр, отвечающий за количество узлов разностной схемы) и определенных в кубе Доказано, что линейные комбинации

                        (2)

(их количество равно ), составленные из коэффициентов оптимального допустимого сплайна задачи (1), удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

                  (3)

                  (4)

                  (5)

Коэффициенты вычислимы явным образом через исходные конс­танты и а для вычисления свободных коэффициентов справедливы явные формулы, порожденные этими же константами и исходными функциями .

Теорема. Система (3) – (5) имеет единственное решение.

При фиксированных матрица подсистемы (см. систему (3)) относительно неизвестных величин имеет трехдиагональный вид (в соответствии с определением допустимого сплайна справедливо ). Имеет место неравенство , что обеспечивает не только существование и единственность решения системы, но и устойчивость метода прогонки, которым она решается. Полученные значения позволяют вычислить по формулам (4), (5) все величины , , входящие в (2).

Матрица перехода от переменных (2) к искомым коэффициентам оптимального допус­тимого сплайна невырожденная. Она имеет строение и допускает достаточно простое описание, позволяющее найти, в конечном счете, все требуемые коэффициенты.

Таким образом, представленный алгоритм имеет линейную сложность вычислений и яв­ляется устойчивым. Данные аспекты считаем весьма перспективными и полагаем, что предложенные в работах [1, 2] многомерные сплайны найдут свое место в ряду многочисленных конструкций, ориентированных на многомерную интерполяцию и аппроксимацию (отметим работы [3–7]).

Список использованной литературы

1.         О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 146–153.

2.         Об одном методе построения разностных схем // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2656–2659.

3.         О численном решении эллиптических краевых задач методом конечных элементов с применением -сплайнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. № 10. C. 1412–1426.