Динамика вихревых колец с закручиванием (стр. 1 )

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ И ФИЗИКИ

МАТЕМАТИКА

, Удмуртский государственный университет, *****@***ru

Научный руководитель — , Удмуртский государственный университет, д. ф.-м. н.

ДИНАМИКА ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ С ЗАКРУЧИВАНИЕМ

DYNAMIC OF THE VORTEX RINGS WITH SWIRL

Аннотация. В данной работе рассмотрено движение системы двух вихревых колец, закрученных вокруг оси симметрии. Получены уравнения движения системы. Исследована зависимость количества частных решений системы от параметра, характеризующего закручивание. Построены бифуркационные диаграммы для каждого случая существования новых частных ре­шений. Для наиболее сложного случая построены и классифицированы все возможные типы фазовых портретов. Найдены новые устойчивые ограниченные режимы движения.

Abstract. In this paper we consider the motion of a system of two vortex rings swirling about the axis of symmetry. Equations of motion are obtained. The dependence of the number of particular solutions of the system on the parameter characterizing the swirl is investigated. Bifurcation diagrams are constructed in each case of the existence of new particular solutions. For the most complicated case, all possible types of phase portraits are constructed and classified. New stable limited regimes of motion are found.

Ключевые слова: вихревые кольца, вихревая динамика, вихревые кольца с закручива­нием.

Keywords: vortex rings, vortex dynamics, vortex rings with swirl.

Интерес к теме движения и устойчивости вихревых колец обусловлен частым наблюдением их в природе, использованием их в качестве приближений для описания других явлений, несложным процессом получения. В [3], например, описан способ тушения пожаров на аварийно-фонтанирующих скважинах с помощью вихревых колец, содержащих огнетушащий порошок. В работе [1] рассмотрена динамика двух незакрученных вихревых колец (классический случай). В [2] отмечается, что влияние закручивания проявляется в изменении поступательной скорости самопродвижения кольца.

Гамильтониан системы может быть представлен в виде:

где — квадраты радиусов первого и второго кольца соответственно, — взаимное расстояние между центрами симметрии колец, — циркуляция второго кольца, — константа, характеризующая объем второго кольца, — коэффициенты, характеризующие закручивание. В общем случае, помимо энергии, система обладает ещё одной сохраняющейся величиной

что позволяет провести редукцию системы и построить бифуркационную диаграмму на плоскости первых интегралов.

В данной работе была исследована зависимость количества стационарных решений
и особенностей приведённой системы от параметра закручивания Оказалось, что при не­котором значении появляются режимы движения, не имеющие аналогов в классическом случае.

Был проведён полный бифуркационный анализ системы двух вихревых колец с закручиванием в наиболее сложном случае существования новых стационарных решений. Для этого были исследованы:

неподвижные точки системы, являющиеся критическими точками гамильтониана; сингулярности системы — случаи, когда радиус одного из колец стремится к нулю или вихри сливаются; особенности системы при разведенных друг от друга на бесконечное расстояние кольцах.

Каждой неподвижной точке или особенности системы соответствует кривая на бифуркационной диаграмме. На основе анализа бифуркационной диаграммы были построены все возможные типы фазовых портретов.

Основное отличие рассматриваемой задачи от классического случая заключается в появлении режима движения, при котором одно кольцо колеблется внутри другого вдоль общей оси симметрии.

Приведём основные результаты, полученные в данной работе:

Исследована зависимость динамики системы от интенсивности закручивания вихревых колец. Указаны разные типы бифуркационных диаграмм. Проведен полный бифуркационный анализ и классификация возможных типов фазовых портретов в наиболее сложном случае. Найдены новые устойчивые ограниченные движения двух вихревых колец с закручиванием, не имеющие аналогов в системе колец без закручивания. Установлено, что явление чехарды, имевшее место в классическом случае (попеременное прохождение одного кольца через другое), сохраняется.

Список использованной литературы

, , Динамика вихревых колец: чехарда, хореографии и проблема устойчивости // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. Номер 1. С. 113–147. Blackmore D., Brons M., Goullet A. A coaxial vortex ring model for vortex breakdown // Phys. D. 2008. Vol. 237. P. 2817–2844. Вихревые кольца. Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2007. 151 с.

, Удмуртский государственный университет,
*****@***ru

Научный руководитель — , Удмуртский государственный университет, доцент, д. ф.-м. н.

ПОЛНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

COMPLETE CONTROLLABILITY OF A LINEAR SYSTEM WITH DISCRETE TIME

Аннотация. Получен критерий полной управляемости линейной системы с дискретным временем, выраженный в терминах существования матрицы Грина некоторой краевой задачи, построенной по коэффициентам исходной системы.

Abstract. We obtained a criterion for the complete controllability of a linear system with discrete time, which is expressed in terms of the existence of the Green matrix of a certain boundary value problem constructed from the coefficients of the original system.

Ключевые слова: система с дискретным временем, управляемость, краевая задача.

Keywords: discrete-time system, controllability, boundary value problem.

Рассмотрим линейную управляемую систему

               (1)

где k пробегает подмножество множества Z целых чисел, — n-мерный вещественный вектор фазовых переменных, — m-мерный вещественный вектор управлений, и — матрицы размерами и соответственно. Будем предполагать, что матрица обратима при каждом k из рассматриваемого отрезка времени. Тогда для линейной однородной системы

при всех определена матрица Коши [1, с. 13]:

при

при

при

Определение 1. Система (1) называется вполне управляемой на отрезке если для каждого начального состояния системы (1) найдется управление определенное на отрезке такое, что решение системы (1) с начальным условием и выбранным управлением удовлетворяет равенству

Хорошо известен критерий полной управляемости системы (1), выраженный в терминах матрицы Калмана

этой системы [2, с. 524]: система (1) вполне управляема на отрезке тогда и только тогда, когда матрица Калмана этой системы обратима.

Системе (1) поставим в соответствие краевую задачу