Математическая регата по теме «Квадратные уравнения»
8 класс (углубленный уровень)
Задачи I тура
1) Решите уравнение: 
;
2) Если каждую сторону квадрата увеличить в 3 раза, то его площадь увеличится на 16см.
Найдите сторону квадрата?
3) Не вычисляя корней уравнения 
, найдите 
+ 
, где 
- корни
Уравнения.
Решение задач I тура
1) Решите уравнение: 
.
Решение: х + 3 = 2 или х + 3 = -2
х = -1 или х = -5
Ответ: 
.
2) Если каждую сторону квадрата увеличить в 3 раза, то его площадь увеличится на 16см. Найдите сторону квадрата?
Решение: Пусть а – сторона квадрата, тогда по условию задачи верно равенство:
9
= 
8
= 16
2
а = 
Ответ: 
3) Не вычисляя корней уравнения 
, найдите 
+ 
, где 
- корни уравнения
Решение: 
+ 
= 
D 
0, тогда по т. Виета 
+ 
= 6, 
= -7, значит 
+ 
= 
= -
Ответ: ( -
Задачи II тура
1) Найти значения переменных, при которых равны значения многочленов
(2х + 1)(х -3) = х(4 – х) -9.
2) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами быть равен 2010?
3) На облицовку стены пошло 504 плитки. Причем в каждом ряду плиток было на 3 меньше, чем число рядов. Сколько было рядов?
Решение задач II тура
1) Найти значения переменных, при которых равны значения многочленов
(2х + 1)(х -3) = х(4 – х) -9.
Решение: 2
– 6х + х – 3 = 4х - 
– 9
2
– 5х -3 = 4х - 
– 9
3
– 9х + 6 = 0
3
-3х + 2) = 0
Т. к. сумма коэффициентов равна 0, то 
а, 
= 2
Ответ: 
2) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами быть равен 2010?
Решение: Пусть уравнение имеет вид: а
, где а, b, с – целые
Числа, тогда D = 
= 2010
Пусть b – четное число, тогда b = 2к
D = 4
– 4ас = 4(
Пусть b – нечетное число, тогда b = 2к + 1
D = 4
4(
Значит приданных условиях дискриминант не может быть равен 2010.
Ответ: Нет
3) На облицовку стены пошло 504 плитки. Причем в каждом ряду плиток было на 3 меньше, чем число рядов. Сколько было рядов?
Решение: Пусть число рядов – х, тогда общее число плиток равно:
х(х – 3) = 504
- 3х – 504 = 0
Ответ: 24
Задачи III тура
1) Зная, что р – корень уравнения 
.
2) При каких значениях а отношение корней уравнения 
равно 3?
3) В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?
Решение задач III тура
1) Зная, что р – корень уравнения 
.
Решение: 
= 
= 2(
+ 3, т. к. р – корень уравнения 
, то 
= 0.
Значит 
= 2(
+ 3 = 0 + 3 = 3
Ответ: 3
2) При каких значениях а отношение корней уравнения 
равно 3?
Решение: Т. к. корня два, то 
= 16 – (3а + 1)
, т. е. а 
Пусть 
– корни данного уравнения, тогда по условию задачи 
= 3 или
= 3
По т. Виета 
, тогда 3
+ 
= 8, т. е. 
= 2.
По т. Виета 
, тогда 3
2
= 3а + 1. Отсюда а = 
Ответ: 
3) 3) В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?
Решение:
Представим условие задачи в виде таблицы
1 команда | 2 команда | 3 команда |
| n команда |
1 команда | ||||
2 команда | ||||
3 команда | ||||
| ||||
n команда |
Как нетрудно заметить, что число игр равно числу ячеек выше или ниже закрашенных, т. е 
= 66
= 132
n(n – 1) = 11
n = 11
Ответ: 11
