Опорный конспект по теме: «Числовая окружность»
Пример 1. В единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный CA и вертикальный DB. Дуга AB разделена точкой M на две равные части, а точками K и P – на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, MB, AK, KP, PB, AP, KM?
Пример 2. Вторая четверть единичной окружности разделена пополам M, а четвертая четверть разделена на три равные части точками K и P. Чему равна длина дуги: AM, AK, AP, PB, MK, KM?
Пример 3. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: 
ЗАПОМНИТЬ
Как запомнить имена числовой окружности.
Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2р) против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек на осях координат.
Начальная точка – это 2р (крайняя правая точка на оси х).
2р – это длина окружности. Значит, половина окружности – это р (крайняя левая точка на оси х). Крайняя верхняя точка на оси у делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это р, то половина полуокружности – это р/2.
Одновременно р/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у –3р/2.
2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х.
Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: р/6, р/4 и р/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:
- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку р/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числина 1 меньше).
Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку р/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7р/6.
- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с р/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числи– то есть 11р/6.
Точка р/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7р/4.
Точка р/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5р/3.
3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1р (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3р. Числитель середины третьей четверти – это 5р. Числитель середины четвертой четверти – это 7р. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)р, 3р, 5р, 7р.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: р/4, 3р/4, 5р/4, 7р/4.
Решение заданий из учебника
№ 4.1
| Решение: |
№ 4.6
| Решение: |
№ 4.11
| Решение: |
Утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t+2р •k, где k – целое число
Важно! М(t) = M(t+2р •k)
№ 4.13
№ 4.14 № 4.15
|
|
Домашнее задание. № 4.2, 4.7, 4.10, 4.16
