ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Целые числа от 0 до 2017 разбили на пары, числа в парах сложили, полученные суммы перемножили. Мог ли в произведении получиться полный квадрат?Решите уравнение:
Действительные числа
удовлетворяют равенству 
. Докажите, что 
. При каких значениях 
достигается равенство. В прямоугольнике ABCD на стороне AD выбрана точка T, а на стороне CD точка K так, что TK ⊥ BD и TC ⊥ BK. Определите, в каком отношении точка K делит сторону CD?
Натуральное число n можно представить в виде суммы трёх различных простых чисел, причём, если сумму любых двух из этих простых чисел увеличить в 10 раз и сложить с числом n, то полученное число делится на третье простое натуральное число. Найдите наименьшее из возможных чисел n. (7 баллов)
На доске написаны три числа:
. За один ход каждое из исходных чисел заменяется суммой квадратов двух других чисел, делённых на само заменяемое число. Может ли в результате нескольких таких ходов на доске появится следующая тройка чисел: 
? Прямая КТ пересекает стороны АВ и ВС △АВС(∠В=60°) в точках касания этих сторон вписанной в △АВС окружности К и Т соответственно. Из точек А и С на прямую КТ опущены перпендикуляры АМ и СN. Оказалось, что МК+ТN=КТ. Докажите, что △АВС равносторонний.
В каждой клетке квадрата n x n стоит ребёнок. Каждый из них смотрит в сторону одной из соседних по стороне клеток (никто не смотрит за пределы квадрата) и видит либо ухо, либо затылок ребёнка, стоящего в этой клетке. Оказалось, что максимально возможное количество детей, которые видят затылок, на 20 человек больше минимально возможного количества детей, которые видят ухо. Сколько всего детей стоит в квадрате?
