Неделя по математике

Неделя по математике

День 2. Творческая мастерская «Лист Мёбиуса»

Оборудование:

Бумажные ленты 40 шт Ножницы, клей, карандаши, линейка на каждого ученика Презентация Лист Мёбиуса

Цель:

В направлении личного развития:

развитие математических способностей и интереса к математическому творчеству

В метапредметном направлении:

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества; развитие представлений о математике как о форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования; формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности

В предметном направлении:

создание фундамента для математического развития, формирование механизмов мышления, характерных для математической деятельности

План мероприятия

Вступительное слово учителя (актуализация деятельности, мотивация к успеху) Творческая мастерская «Исследование ленты Мёбиуса» Как склеить ленту? Сколько сторон  у ленты? Что будет, если ленту разрезать Посередине По краю Два раза Три раза Выводы: что получилось? Реальная жизнь ленты (применение объекта)

Содержание

Вступительное слово учителя.

Ребята, занятие нашей с вами творческой мастерской я хочу начать с чтения одной газетной вырезки

(Читает учитель) В метрополитене, в котором только что открылась новая ветка, исчезает состав № 86, который вместе с пассажирами уехал со станции, но ни на следующей станции, ни в депо так не появился. Поиски ни к чему не приводят.

Молодому математику Косте его девушка, которая работает журналистом, рассказывает по секрету о произошедшем. Он приходит на приём к начальнику метрополитена и пытается объяснить ему, что поезд всё ещё находится в тоннелях метро, но его просто не видят. Однако тот не принимает его всерьёз, так как тоннели на всех линиях уже тщательно обследованы, и другие поезда беспрепятственно по ним следуют.

Со временем руководству метрополитена становится ясно, что поезд действительно находится где-то в метро. Так, состав № 86 периодически фиксирует автоматика в разных частях метрополитена, он потребляет электроэнергию, но никто его не видит, хотя шум его слышен. Начальник метрополитена вызывает Костю. Тот выдвигает гипотезу, что из-за открытия новой ветки топологическая сложность системы метрополитена изменилась, и поезд попал в четвёртое измерение. Руководство метрополитена прекращает движение поездов на новой ветке, но оставляет на ней электричество на случай, если поезд вдруг вернётся.

Проходит почти два месяца. После очередного совещания в метрополитене Костя возвращается домой на метро. Вдруг он обращает внимание, что у сидящего рядом пассажира газета датирована днём, когда пропал состав № 86. Он выбегает на ближайшей станции и звонит начальнику метрополитена, сообщая ему, что поезд № 86, наконец-то, вернулся и можно отключить электроэнергию на новой ветке и совсем её закрыть. Однако начальник метрополитена говорит: «Поздно. Исчез состав № 000».

Учитель: Как вы думаете, ребята, в каком разделе газеты была размещена эта статья?

Предполагаемые ответы: очевидное – невероятное, научная фантастика, сказки, …

Учитель: - Могло ли такое случится на самом  деле?

- Нам с вами кажется, что такого не может быть, но в мире ещё столько всего необычного и неизученного, что отрицать такое тоже неправильно.

- А что бы вы сказали, ребята, если бы вам сшили рубашку без изнанки?

(стали носить с двух сторон)

- Нет, тут дело посложнее: рубашка только с одной стороны

(таких рубашек нет)

- Конечно, сейчас я пошутила. Но, оказывается, односторонние поверхности существуют!!

Имя одной из них – Лента  или Лист Мёбиуса.

Кто такой Мёбиус? Как выглядит Лента Мёбиуса? Можно ли её разрезать и что из этого получится? На все эти вопросы мы с вами постараемся ответить  сегодня.

Презентация

Слайд 

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса открыл в 1858 году немецкий геометр . (1790 – 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. В течение 15 лет Мёбиус был наблюдателем, а потом директором Лейпцигской астрономической обсерватории. Мёбиус был разносторонним ученым. Он один из крупнейших геометров 19 века. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие – односторонние поверхности, одна из которых – Лист Мёбиуса.

Но, хватит слов, пора заняться делом!

Слайд Как склеить лист Мёбиуса? (учитель показывает, как склеить лист Мебиус)

  Чтобы сделать лист Мёбиуса надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно

Исследование 1: Сколько сторон имеет лента Мёбиуса?

"Если кто-нибудь попробует раскрасить "только одну" сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской",— пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге "Что такое математика".

Исследование 2: разрезание листа посередине вдоль всего кольца

  Что будет, если разрезать обычный лист бумаги?

  Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

  А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажу. Разрежьте сами.

Результат: одно кольцо в два раза длиннее

Исследование 3: разрезание листа вдоль всего кольца ближе  к одному краю

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

  То же самое? А ничего подобного! Получим два сцепленных кольца - одно маленькое, другое длинное.

Исследование 4: два разреза,  разрезание листа на три части

Результат: два сцепленных кольца - одно маленькое, другое длинное.

Исследование 5: три разреза,  разрезание листа на 4 части

Результат: сцеплены два больших кольца

Исследование 6: четыре разреза, разрезание на 5 полос

Результат: на одном маленьком два больших кольца.

Исследуйте дальше эту поразительную

  (и тем не менее совершенно реальную) одностороннюю поверхность, и вы получите море удовольствия. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы, уверяю вас.

Что может быть полезнее Чистого Знания?

Вывод.

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеюсь, что я вас заинтересовала и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.

Выполняя исследование, мы перекручивали лист только один раз. А если его перекрутить два раза? А если три?

Ещё хочу предложить задание для смекалистых и любознательных.

Конструкторская смекалка.

Как составить цепочку из трёх звеньев из трёх лент, чтобы при разрезании любого звена вся цепочка распалась на три части? Как составить цепочку из 5 звеньев из 5 лент так, чтобы существовало одно звено, при разрезании которого цепочка распалась бы на 5 отдельных частей? Как составить цепочку в 5 звеньев из 5 лент, чтобы при разрезании любого звена вся цепочка распалась бы на 5 отдельных частей?

Топология

Открытие Мебиуса послужило толчком к развитию новой науки – топологии. Топология это раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при

непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание.) 

В популярной литературе топологию часто называют «геометрией на

резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как

геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах,

которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.

Вернемся к листу Мебиуса. На первый взгляд может показаться, что этот объект годится только для фокусов и развлечений. Но существует огромное количество технических применений ленты Мебиуса.

Применение листа Мебиуса в технике.

  Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.
  Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: срок работы ленты увеличились вдвое.
  В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока 

  Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами. 
  В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.
  В 1971 году изобретатель с Урала применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только малая часть примеров использования этой удивительной поверхности.
Символ бесконечности и бесконечность во Вселенной.

Нынешний символ бесконечности "∞" ввел в употребление Джон Уоллис в 1655 году. Джон Уоллис издал большой трактат «Арифметика бесконечного»), где ввёл придуманный им символ бесконечности. До сих пор так и не известно, почему он остановил свой выбор именно на этом знаке. Одна из наиболее авторитетных гипотез связывает происхождение этого символа с латинской буквой «М», которую римляне использовали для обозначения числа 1000. Символ бесконечности назван "lemniscus" (лат. лента) математиком Бернулли приблизительно сорок лет спустя.

Другая версия говорит о том, что рисунок «восьмерки» передает главное свойство понятия «бесконечность»: движение без конца. По линиям числа 8 можно совершать бесконечное движение. Для того, чтобы не путать введенный знак с числом 8, математики решили располагать его горизонтально. Такое обозначение cтало стандартным для всей математики, не только алгебры. Почему бесконечность не обозначают нулем? Ответ очевиден: цифру 0 как не поворачивай — она не изменится. Поэтому выбор и пал именно на 8.

Другой вариант – уроборос - змей, пожирающий свой хвост, который за полторы тысячи лет до нашей эры в Египте символизировал различные процессы, не имеющие начала и конца.

Бесконечность — вообще одно из самых удивительных понятий науки, понятие, которое, пожалуй, больше чем какое-либо другое с давних пор привлекает к себе вни­мание. Может быть, это объясняется тем, что в повсе­дневной жизни нам всегда приходится иметь дело только с конечными величинами, с конечным числом тех или иных объектов, а бесконечность манит человека своей необычностью и даже таинственностью.

С понятием бесконечности мы сталкиваемся, говоря о Вселенной. Еще великие философы древности пытались решить вопрос о бесконечности Вселенной в пространстве с по­мощью сравнительно простых и, казалось бы на первый взгляд, неопровержимых логических рассуждений. Представим себе, — говорили они, — что у Вселенной есть край и человек достиг этого края. Однако стоит ему только вытянуть руку, и она окажется за границами Вселенной. Но тем самым рамки мира раздвигаются еще на некоторое расстояние. Тогда можно будет при­близиться к новой границе и повторить ту же операцию еще раз. И так без конца. Значит, Вселенная не может иметь границ.

«Нет никакого конца ни с одной стороны у Вселенной, ибо иначе края непременно она бы имела», — писал Лук­реций Кар в своей поэме «О природе вещей».

На протяжении многих веков ученые астрономы обсуждают вопрос строения и бесконечности Вселенной. Одна из новейших гипотез говорит о

том, что Вселенная имеет форму листа Мебиуса, т. е. она бесконечна, но при этом ограничена.

Кроме того, космический инфракрасный телескоп Herschel обнаружил в центре нашей Галактики перекрученное кольцо плотного газа, напоминающее по форме символ бесконечности или лист Мебиуса. До сих пор астрономам удавалось увидеть только часть этого кольца, протянувшегося на расстояние 600 световых лет.

Если отмечать положение Солнца на небе каждый день в одно и то же время в течение земного года, то мы получим аналемму, кривую, в виде знака бесконечности или листа Мебиуса.

Подобные наблюдения были сделаны еще в каменном веке, что отражено в так называемых «каменных кораблях», найденных на территории Швеции, Норвегии, Финляндии, Германии, Прибалтики и России. Все они были построены 1,5 – 2,5 тысячи лет назад по Во время летнего и зимнего солнцестояния светило восходит и заходит здесь в определенных точках и, вероятно, древние скандинавы возвели астрономическую обсерваторию, которая служила для ежегодных религиозных церемоний или для обслуживания сельскохозяйственного цикла.

Запредельная звёздная вечность…
Нам её никогда не постигнуть.
Это сложно понять – бесконечность:
Будто в воду холодную прыгнуть.

Бесконечность – вопрос без ответа
На холодных губах тонкой льдинкой,
Незабвенные строки поэта,
На которых застыла слезинка.

Наша память, хранящая файлы
Жизни прошлой и жизни грядущей.
Бесконечность – она не случайна,
Как и всё в этом мире насущном.

Нам знакомо понятие бесконечности в математике. Но, проблема в том, что мы не умеем выполнять действия над бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Выражения вида называют неопределенностью. Проблемы бесконечности, которую нельзя ни постичь, ни измерить, давно интересовали нижегородского ученого Ярослава Сергеева. Несколько лет назад он ввел единицу измерения бесконечности, создав таким образом новый математический язык.

Ярослав Сергеев стал первым российским ученым и пятым ученым в мире, удостоенным премии Пифагора. 47-летний профессор Нижегородского государственного и Калабрийского университетов получил награду за работы, которые позволили ученым более эффективно оперировать бесконечно малыми и бесконечно большими числами.

Идея профессора Сергеева заключалась в том, что проблемы работы с бесконечностью происходят из-за несовершенства существующего математического языка, и он разработал новый язык, который позволяет не только записывать бесконечно малые и большие числа, но и производить с ними обычные математические действия.

Сергеев уже разработал и запатентовал в России, Европе и США новый "компьютер бесконечности", который способен выполнять вычисления с бесконечно большими и малыми числами.

Мои исследования носили фундаментальный характер, но они найдут и широкое прикладное применение везде, где только есть математика, - сказал профессор Сергеев "Известиям". - У нас уже есть первый калькулятор, с помощью которого мы производим более точные вычисления.

Преподаватель: Вернемся снова к листу Мебиуса. Его необыкновенные свойства вдохновляли художников, архитекторов и скульпторов на создание необычных произведений искусства.

Лист Мёбиуса в искусстве

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульпторов и для графического искусства. Известный голландский художник М. Эшер (1898-1971) особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

 

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие творческий союз искусства и науки.

Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.

Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 г

Скульптура в Москве.

Сегодня мы познакомились с необыкновенным объектом, который на первый взгляд, не имеет ничего общего с математикой. Но это лишний раз подтверждает, что математика универсальная наука, охватывающая все сферы жизни человека и человечества. Хочется думать, что сегодняшняя работа  многих заставит взглянуть на математику по-другому, вызовет интерес к занятиям наукой.

.

Нам знакомо понятие бесконечности в математике. Но, проблема в том, что мы не умеем выполнять действия над бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Выражения вида называют неопределенностью. Проблемы бесконечности, которую нельзя ни постичь, ни измерить, давно интересовали нижегородского ученого Ярослава Сергеева. Несколько лет назад он ввел единицу измерения бесконечности, создав таким образом новый математический язык.

Ярослав Сергеев стал первым российским ученым и пятым ученым в мире, удостоенным премии Пифагора. 47-летний профессор Нижегородского

государственного и Калабрийского университетов получил награду за работы, которые позволили ученым более эффективно оперировать бесконечно малыми и бесконечно большими числами.

Идея профессора Сергеева заключалась в том, что проблемы работы с бесконечностью происходят из-за несовершенства существующего математического языка, и он разработал новый язык, который позволяет не только записывать бесконечно малые и большие числа, но и производить с ними обычные математические действия.

Сергеев уже разработал и запатентовал в России, Европе и США новый "компьютер бесконечности", который способен выполнять вычисления с бесконечно большими и малыми числами.

Мои исследования носили фундаментальный характер, но они найдут и широкое прикладное применение везде, где только есть математика, - сказал профессор Сергеев "Известиям". - У нас уже есть первый калькулятор, с помощью которого мы производим более точные вычисления.

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость,
В поверхность без начала и конца.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист

.

Сегодня мы познакомились с необыкновенным объектом, который на первый взгляд, не имеет ничего общего с математикой. Но это лишний раз подтверждает, что математика универсальная наука, охватывающая все сферы жизни человека и человечества. Хочется думать, что сегодняшняя работа  многих заставит взглянуть на математику по-другому, вызовет интерес к занятиям наукой.