Математика

1.Требования к  освоению предмета, курса

Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как  языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

В результате  ученик должен

знать/понимать

существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств; существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов; как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач; как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания; как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа; вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов; смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

уметь

выполнять основные действия со степенями с действительным показателями; применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни; решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; изображать числа точками на координатной прямой; определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей; определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств; описывать свойства изученных функций, строить их графики;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах; моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры; описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций; интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.

2. Содержание учебного предмета, курса

10 класс

Действительные числа

Рациональные и действительные числа.  Понятие о корне n-ой степени из числа. Арифметический корень натуральной степени. Степень с действительным показателем. Иррациональность числа. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними.

Знать:

понятие натурального числа; понятие целого числа; понятие действительного числа; понятие модуля числа; понятие арифметического корня n –й степени и его свойства; свойства степени с действительным показателем.

Уметь:

уметь находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии; обращать бесконечно периодическую дробь в обыкновенную;

уметь выполнять преобразования выражений, содержащих арифметические корни

Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства.  Иррациональные уравнения и неравенства.

Знать:

свойства степенной функции во всех её разновидностях; определение  и свойства взаимно обратных функций; определения равносильных уравнений и уравнения-следствия; понимать причину появления посторонних корней и потери корней; что при возведении в натуральную степень обеих частей уравнения получается уравнение – следствие; при решении неравенства можно выполнять только равносильные преобразования; что следует избегать деления обеих частей уравнения(неравенства) на выражение с неизвестным.

Уметь:

  ∙  схематически строить график степенной функции в зависимости 

  от принадлежности показателя степени;

перечислять свойства; выполнять преобразования уравнений, приводящие к уравнениям-следствиям;

решать иррациональные уравнения и неравенства.

Показательная функция

Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения и  неравенства.

Знать:

определение и свойства показательной функции; способы решения показательных уравнений.

Уметь:

уметь строить график показательной функции в зависимости от значения основания а; описывать по графику свойства; применять знания о свойствах показательной функции к решению прикладных задач; решать уравнения, используя тождественные преобразования на основе свойств степени, с помощью разложения на множители выражений, содержащих степени, применяя способ замены неизвестной степени новым неизвестным; решать показательные неравенства на основе свойств монотонности показательной функции; решать системы показательных уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства.

Знать:

понятие логарифма числа и основное логарифмическое тождество; основные свойства логарифмов; понятие десятичного и натурального логарифмов; определение логарифмической функции; свойства логарифмической функции и её график.

Уметь:

применять свойства логарифмов для  преобразований логарифмических выражений; применять формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию; применять свойства логарифмической функции при сравнении значений выражений и решении простейших логарифмических уравнений и неравенств; решать различные логарифмические уравнения и их системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений; решать логарифмические неравенства на основании свойств логарифмической функции.

Системы уравнений

Способы подстановки и сложения. Решение задач с помощью систем уравнений.

Тригонометрические формулы

Радианная мера угла. Определение синуса, косинуса и тангенса, их знаки. Тригонометрические тождества. Формулы сложения, двойного и половинного углов, приведения, суммы, разности и произведения.

Знать:

определения синуса, косинуса и тангенса; основные формулы, выражающие зависимость между синусом, косинусом и тангенсом определение радиана; понятие тождества как равенства;

Уметь:

переводить радианную меру угла в градусы и обратно; поворачивать начальную точку единичной окружности вокруг начала координат на угол б и находить положение точки окружности, соответствующей данному действительному числу; находить синус, косинус тангенс для чисел вида Р/2k,  k €; Z применять формулы для вычисления значений синуса, косинуса и тангенса числа по заданному значению одного из них; доказывать тождества с использованием изученных формул; выполнять преобразование тригонометрических выражений

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Однородные уравнения. Различные приемы и методы решения тригонометрических уравнений. Системы тригонометрических уравнений.

Знать:

понятия арккосинуса, арксинуса и арктангенса; формулы корней простейших тригонометрических уравнений; приёмы решений различных типов уравнений; приемы решения простейших тригонометрических неравенств.

Уметь:

решать простейшие тригонометрические уравнения; применять различные приёмы при решении тригонометрических уравнений; решать простейшие тригонометрические неравенства.

Итоговое повторение

11 класс

Тригонометрические функции

Рассмотреть тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Периодичность функции, основной период.

Обратные тригонометрические функции, их графики.

Знать:

свойства тригонометрических функций,  применять эти свойства обобщить и систематизировать знания об исследовании функций элементарными методами

Уметь:

строить графики тригонометрических функций, используя различные приемы построения графиков. Среди тригонометрических формул следует особо выделять те формулы, которые непосредственно относятся к исследованию тригонометрических функций и построению их графиков. С помощью графиков тригонометрических функций решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Производная и ее геометрический смысл

Предел функции. Непрерывность функции. Определение производной и правила дифференцирования. Геометрический смысл производной.

Знать:

понятие предела последовательности, предела функции, производной;

Уметь:

находить производные с помощью формул дифференцирования; находить уравнение касательной к графику функции, решать практические задачи на применение понятия производной.

Применение производной к исследованию функции График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций. Производная второго порядка.

Знать:

утверждения о зависимости возрастания и убывания функции от знака ее производной на данном промежутке. понятия точек максимума и минимума, точек перегиба. новые термины: критические и стационарные точки.

Уметь:

находить промежутки возрастания и убывания функции находить точки экстремума применять производную в исследовании свойств функций и построении их графиков.

Первообразная и интеграл

Правила нахождения первообразных. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов. Простейшие дифференциальные уравнения.

Знать:

понятия интеграла и интегрирование как операцией, обратной дифференцированию; понятие площадь криволинейной трапеции,

Уметь:

решать простейшие физические задачи с помощью интеграла. решать интегралы находить площадь криволинейной трапеции

Комбинаторика Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Знать:

теорию соединений

формулу бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь знакомились в курсе 10 класса).

Уметь:

составление упорядоченных множеств (образование перестановок); составление подмножеств данного множества (образование сочетаний); составление упорядоченных подмножеств данного множества (образование размещений).

Элементы теории вероятностей

Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Формула Бернулли.

Знать:

понятие вероятности случайного независимого события; применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий нахождение вероятности произведения двух независимых событий.

Уметь

находить вероятность случайного независимого события; находить  вероятность суммы двух несовместных событий находить вероятность произведения двух независимых событий.

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Примеры решения нелинейных систем. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

Знать:

приемы решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с двумя переменными. изображение множества точек, являющегося решением уравнения первой степени с двумя неизвестными

Уметь

решать системы уравнений с помощью графика решать неравенство с двумя переменными и их систем.

Итоговое повторение

3.Тематическое планирование

10 класс

№п/п	Модуль	Примерное количество часов
1	Степень с  действительными  числами.	10
2	Степенная  функция.	11
3	Показательная  функция.	9
4	Логарифмическая  функция.	12
5	Тригонометрические  формулы.	14
6	Тригонометрические  уравнения.	12

11 класс

№п/п	Модуль	Количество часов
1	Тригонометрические функции	11
2	Производная и ее геометрический смысл	14
3	Применение производной к исследованию функций	11
4	Первообразная и интеграл	9
5	Комбинаторика	7
6	Элементы теории вероятностей	5
7	Уравнения и неравенства с двумя переменными	4
Итоговое повторение курса алгебры и начал анализа	7