Факультативное занятие по математике для учащихся 9-11 классов

Факультативное занятие по математике для учащихся 9-11 классов.

Тема. Две дюжины задач на прогрессии.

Цели : - образовательная: обобщить и систематизировать знания о прогрессиях; закрепить и усовершенствовать навыки решения задач с использованием характеристических свойств прогрессий;

- развивающая: развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;  сообразительность, стремление к преодолению трудностей;

- воспитательная: воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы.

Ход занятия.

І. Организационный момент.

Кто ничего не изучает,

Тот ничего не замечает.

Кто ничего не замечает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Р. Сеф.

ІІ. Мотивация.

Для успешного решения задач на прогрессии нужно хорошо знать определения арифметической, геометрической т бесконечно убывающей геометрической прогрессий, формулу общего члена для каждой из этих прогрессий, формулы суммы n членов прогрессий, а также определений и формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Кроме того, очень часто в задачах на прогрессии приходится использовать так называемые характеристические свойства прогрессий.

ІІІ. Систематизация и усовершенствование знаний.

Фронтальная беседа по таблице.

Прогресії
Арифметична	Геометрична
Рекурентна формула	an + l = an + d,  n ∈ N	bn + 1= bnq, n ∈ N b1 ≠ 0, q ≠ 0
Формула n-го члена	аn = a1 + (n – 1)d	bn = b1gn-1
Характеристична властивість		b2n = bn-1bn+1
Формула суми п перших членів		Sn = nb1, q=1
Інші формули	а1 + аn = а2 + аn–1 = = ... = ak + an–k+1	b1bn = b2bn–1 = … = = bkbn–k + 1
Нескінченна спадна геометрична прогресія (| q| < 1)

Решение упражнений. Заполни таблицу.

a1	d	ап	п	Sn
1	1	19	10
2	5	-2	7
3	15	6	60
4	3	-18	-60
5	1	3	28

b1	q	bп	п	Sn
1	1	2	5
2	32		2
3	3	81	5
4	6	96	5
5	1	2	15

Характеристические свойства прогрессий.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность а1,а2, ..., аn, ... является арифметической прогрес­сией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и послед­него, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметичес­кому своих соседних.

Доказательство. Дана последовательность а1, а2, ..., ап, ... Пусть она является арифметической прогрессией. Докажем, что

В самом деле, ak+1 - ak = аk+2 – аk+1, откуда

Пусть  теперь  . Тогда ak+1 - ak = ak+1 - ak+1, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности постоянна для данной последовательности, а это и означает, что а1, a2, ... ...,ап, ... — арифметическая прогрессия.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность b1 ,b2 ..., bn, ... является геометрической прогрес­сией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности) равен произведению своих соседних  (то  есть b2k+l=bk · bk+2).

Доказательство. Пусть последовательность b1 ,b2 , ...,  bn, ...

является геометрической прогрессией. Тогда, , откуда b2k+1 = bk · bk+2 что и требовалось доказать.

Пусть, наоборот, b2k+1 = bk · bk+2.  Тогда , то есть отношение  последующего члена последовательности к предыдущему постоянно для данной последовательности, а это и означает, что b1 ,b2 ..., bn, ... - гео­метрическая  прогрессия.

4.Решение задач на применение характеристических свойств.

Арифметическая прогрессия

Задача 1.        Доказать, что .

Решение.        .  Аналогично

.

Поэтому

.

Задача 2. Последовательность и1, и2, ..., ип, ... обладает тем свой­ством, что сумма Sn первых ее п членов равна 2n2+3n. Доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, заключаем, что нам достаточно доказать следующее соотноше­ние: 2uk+1 = uk + uk+2, где k = 1, 2, 3, ...

Замечаем, что uk+1 = Sk+1 – Sk. В самом деле,

Sk+1 – Sk = (u1 + u2 + . . . + uk + uk+1) — (ul + u2+ … +uk) = uk+1

Значит,

uk+l = [2(k+1)2 + 3(k+1)] — (2k2+3k) = 4k+5.

Аналогично uk=Sk - Sk-1 (в частности, полагаем S0=0), отку­да  uk = (2k2+3k) - -[2(k - 1)2+3(k - 1)]=4k+1 и, наконец, uk+2=Sk+2 - Sk+1=4k+9. Поскольку для чисел uk=4k+1, uk+1=4k+5, uk+2=4k+9 соотношение 2uk+1=uk + uk+2 выполняется, то доказательство того, что u1, и2, ..., ип,... - арифметическая прогрессия, закончено.

Задача 3. Доказать, что для арифметической прогрессии справед­ливо соотношение

Решение. Использовав для Sn известную  формулу 

и аналогичные формулы для Sm и Sp, приведем левую часть доказываемого равенства к виду

.

Применив к ап формулу общего члена  арифметической  прогрессии  ап=a1+d(n-1) и сделав то же самое для ат, ар, получим

.

и далее

Поскольку суммы в обеих квадратных скобках равны 0, то и все выражение равно 0, что и требовалось доказать.

Задача 4. Найти трехзначное число, которое делится на 45 и цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Пусть х — цифра сотен, у — цифра десятков и z — циф­ра единиц искомого числа. Так как по условию х, у, z — арифметическая прогрессия, то

2у = х+z.                                                (1)

Искомое число имеет вид 100 х + 10y + z. Так как по условию оно де­лится на 45, то

100x + 10y + z = 45р.          (2)

Итак, искомое число определяется условиями (1) и (2).

Для цифры единиц имеются две возможности: либо z = 0, либо z = 5 (это вытекает из делимости искомого числа на 5). Рассмотрим случай z = 0. Тогда из (1) получаем х = 2у, а из (2) – 100x + 10y = 45р, или 20x + 2y = 9р, 20х + х=9р или 7x = 3р. Это означает, что х делится на 3. Так как, кроме того, х - число четное (x=2y), то заключаем, что для х имеется единствен­ная возможность: х=6. Тогда y=3, а искомое число равно 630.

Рассмотрим теперь второй случай: z=5. В этом случае условия (1) и (2) принимают соответственно следующий вид:

2у = х + 5; 100х + 10y + 5 = 45р.

Последнее равенство преобразуем к виду 20x + 2y + 1 = 9р и далее, с уче­том равенства 2у=х + 5, получаем 21x + 6 = 9р, или 7х + 2 = 3р. Послед­нее равенство возможно при х=1, 4, 7. Но поскольку х + 5 — четное число (х + 5=2у), то для х остаются лишь две возможности: х = 1, х = 7. В пер­вом случае y = 3, во втором случае y = 6. Искомое число соответственно в первом случае равно 135, во втором 765. Итак, условию задачи удовлетво­ряют три числа: 135, 630, 765.

Геометрическая  прогрессия

Задача 5.  Вычислить сумму .

Решение.  2+22+222+ ... +22 ... 2 = 2[1+(1+10) + (1 + 10+102)+ ...+(1+10+102+ ... +10n-1)] = =2[S1+S2+S3+ ... +Sn],

где Sk - сумма k членов геометрической прогрессии 1, 10, 102, 103,  ... (k=l, 2, ..., n).  Применив  формулу суммы  членов геометрической прогрессии, получим

Задача 6.  Доказать, что последовательность u1, и2, и3, где

является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда

.

Решение. На основании характеристического свойства геометрической прогрессии заключаем, что задача сводится к решению уравнения

                                       (3)

Выполним последовательные преобразования этого уравнения:

,

tg х=4 sin2 х,  sin х (2 sin 2 х - 1)=0  (cos х≠ 0).

Таким образом, должно выполняться одно из двух уравнений:

откуда

Полученные серии и только они удовлетворяют уравнению (3). Следо­вательно, при полученных значениях х и только при них и1, и2, и3 — геометрическая прогрессия.

Задача 7. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометри­ческой  прогрессии?

Решение. Предположим, что заданные числа являются членами гео­метрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q. Тогда 10 = b1qn, 11=b1qm, 12=b1qp. Из этих соотношений получаем

и далее

Последнее равенство не может выполняться ни при каких попарно различ­ных натуральных п, m, p. Это значит, что числа 10, 11, 12 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Задача 8. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. Используя формулу суммы  членов  бесконечно убывающей  геометрической  прогрессии,  получим

Рассмотрим последовательность .  Замечаем, что это беско­нечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом и знаме­нателем q2. Тогда сумма членов этой прогрессии определяется формулой и равна 40,5.

В итоге задача сводится к решению системы

Из этой системы получаем:        .

Смешанные задачи на прогрессии

Задача 9. Найти четыре числа, если известно, что первые три из них образуют геометрическую прогрессию, последние три — арифметическую прогрессию, сумма крайних чисел равна 21, сумма средних — 18.

Решение. Пусть а, b, с, d — искомые числа; а, b, с — геометрическая прогрессия, значит, b2=ас; b, с, d — арифметическая прогрессия, значит, 2c=b+d.  В  итоге  приходим к следующей  системе уравнений:

Решив эту систему, получим а=3, b=6, c=12, d=l8 или

ІV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание.

1) сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти десятый член прогрессии.

2) найти трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего на 400, - арифметическую.

3) четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если их уменьшить соответственно на 2,1,7, 27, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.