В газете Математика (февраль 2012) меня привлекла головоломка Н. Авилова "Гирлянды из квадратов". Её, действительно, очень легко сделать, и она вызывает огромный интерес у ребят. Хочу поделиться опытом работы с такой головоломкой после изучения шестиклассниками темы "симметрия".
На математическом кружке мной было предложено составление фигур из гирлянд
.
Многие ученики составили первую фигуру за 2-3 минуты. Составление 2-ой и 3-ей фигуры потребовало больше времени. К остальным пришлось вернуться на следующем занятии.
Задача оказалась сложной потому, что квадраты были соединены нитью, проходящей по диагонали и могли складываться только определённым образом. Например, фигуру, напоминающую крестик из 5 квадратов, сложить из такой гирлянды невозможно.
На втором занятии ученикам предлагалось описать свойства всех предложенных фигур, Что объединяет их? Есть ли фигура, хоть чем то отличающаяся от остальных?
В результате всем фигурам ученики дали названия, было замечено, что все фигуры
сплошные, без окошек, симметричные. Причем «Мельница», «Водоворот», «Черная дыра», «Дорожка», «Ромб» имеют центр симметрии.
Вспомнили, что такие фигуры в математике называются центрально-симметричными. Если взять любую точку фигуры, то симметричная ей относительно центра симметрии точка также лежит на фигуре. Так как каждая фигура состоит из 5*5=25 квадратов, то центром симметрии является квадрат. Оставшиеся 25-1=24 квадрата должны быть расположены симметрично относительно центра симметрии, в виде двух лепестков.
Фигуры «Дорожка», «Ромб», «Пирамида» обладают осевой симметрией. У «Дорожки» две оси симметрии, у «Ромба» - четыре, у «Пирамиды» - одна. Для фигур с осевой симметрией предположили следующее. Так как мы работаем с 25 квадратами, очевидно, что ось симметрии будет представлять собой полосу из нечетного числа квадратов, от 1 до 25. При этом ось может выглядеть как линия из квадратов, соединенных диагоналями (пример – фигура «Дорожка»), или как полоса из квадратов, соединенных противоположными сторонами (пример – фигура «Пирамида»).
-Если основное свойство фигур найдено, нельзя ли его использовать для составления более сложных фигур?
-Какие элементы искомой фигуры будут отражаться относительно центра или оси симметрии?
-Поработаем с начала с каждой гирляндой в отдельности.
В результате такой работы ученики нашли большое количество возможных положений одной гирлянды ( все они появились на доске):
Затем ученики мысленно находили каждую из нарисованных гирлянд в какой - нибудь из предложенных фигур
Теперь появилась теоретическая база, значительно упрощавшая процесс сборки фигур головоломки. Вот результат работы с «конструктором»: "Дорожку" можно сложить двумя способами:
Конечно, понятие симметриии очень помогло ребятам при составлении фигур, но нашлись ученики, которые предложили и не симметричное расположение гирлянд внутри фигуры.
«Водоворот» и Мельницу" можно сложить двумя способами. Причем как симметрично располагая гирлянды относительно центра симметрии, так и не симметрично:
"Пирамиду" можно сложить семью способами, один из которых с симметричным расположением гирлянд относительно оси симметрии.
Очень приятно было слышать разговор учеников о гирляндах на переменах. Поводом таких разговоров стало самостоятельное придумывание фигур с теми же свойствами.
Кроме сплошных фигур, предложили собирать и фигуры с окошечками (с пустыми квадратиками). Тогда окошечки можно рассматривать как дополнительные квадратики. Вот некоторые фигуры, составленные учениками.
С центром симметрии:
С осью симметрии, состоящей из квадратов, соединенных диагоналями:
С осью симметрии из квадратов, соединенных противоположными сторонами
Идея собрать квадрат из данных гирлянд родилась у многих учеников. Ведь пять гирлянд содержат 25 квадратиков. Значит можно пробовать собрать квадрат размером 5х5 клеточек.
Квадрат имеет центр симметрии и четыре оси симметрии. Самый простой способ сборки квадрата - это составление его из пяти полос. Этот способ наглядно показывает, что квадрат можно рассматривать не только как фигуру с центром симметрии и с осью симметрии. Квадрат также можно рассматривать как прямоугольник, дополненный одной, двумя или тремя полосами из пяти квадратиков каждая. Эта особенность квадрата даёт возможность собирать его более чем 10 способами. В том числе, располагая гирлянды совершенно несимметрично внутри квадрата.
Работа по составлению новых фигур длилась около трёх месяцев. Собрав все придуманные фигуры в одном месте, мы ещё ни раз вспомнили о симметрии.
Например, какое количество окошечек возможно. Ответ найден: для фигуры с осью симметрии окошечек может быть четное или нечетное количество. Если окошечек нечётное количество, то на оси симметрии должно быть нечетное количество окошечек.
Причём симметричную фигуру с осью из квадратов, соединенных противоположными сторонами, можно собрать только располагая гирлянды несимметрично относительно оси симметрии. Если окошечек чётное количество, то они должны быть симметричны относительно оси симметрии. Для фигуры с центром симметрии количество окошечек может быть только четное.
Интересным оказался факт, что некоторые симметричные фигуры можно собрать и с симметричным и с несимметричным расположением гирлянд. Например, «Кубок», «Водоворот», «Змей», «Квадрат». Интересно, что некоторые симметричные фигуры можно собрать только располагая гирлянды несимметрично внутри фигуры. Например, «Акробат», «Темница». 
По мнению моих учеников, все фигуры можно условно разделить на три группы по степени сложности:
Сложные фигур:
Фигуры, менее сложные
Простые фигуры
И в эту головоломку оказались втянутыми почти все шестиклассники. Для каждого нашлась фигура, посильная ему для сборки.
А Корнюшин Кирилл предложил приклеить магнитную ленту на обратную сторону гирлянд. Теперь ученики могли тренироваться в составлении фигур на доске во время перемен, некоторые дома на холодильнике.
Изготовить игру можно самому или с родителями, она занимательна для детей и для взрослых.
Что даёт такая игра школе:
1. Может использоваться как учебное пособие;
2. Пробуждает интерес к математике, в частности, к планиметрии;
3.Прививает использование терминологии;
4. Закрепляет понятия «симметрия», «осевая симметрия», «центральная симметрия»;
5. Развивает воображение и абстрактное мышление.
