Описанная окружность.

Теория

Описанная окрумжность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Теоремы, связанные с описанной окружностью

    Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью треугольника , и — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны , тогда . Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров и вневписанных окружностей.
    Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www. problems. ru/view_problem_details_new. php? id=108130). Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника ABC на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона. Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности. Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек.

Задача №1

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , равен 13, вы­со­та, про­ведённая к сто­ро­не равна 5. Най­ди­те длину той хорды опи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рая де­лит­ся по­по­лам сто­ро­ной

Ре­ше­ние.

Пусть — се­ре­ди­на ис­ко­мой хорды Через точку про­ведём хорду па­рал­лель­ную сто­ро­не Тогда точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков и — се­ре­ди­на зна­чит за­да­ча имеет два ре­ше­ния. Кроме того, вы­со­та тре­уголь­ни­ка вдвое боль­ше вы­со­ты тре­уголь­ни­ка зна­чит и Пусть — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка По тео­ре­ме си­ну­сов

Пусть — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка — се­ре­ди­на Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что а так как рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми хор­да­ми и также равно 5, то точка лежит на от­рез­ке Сле­до­ва­тель­но, — диа­метр окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что

Ответ:

Теорема синусов

Теорема Пифагора

Задача №2

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 20, 14 и 15 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

Ре­ше­ние.

Точка лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром по­это­му По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пусть — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Тогда:.

От­сю­да Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Если точка лежит между точ­ка­ми и , то Сле­до­ва­тель­но,

Если точка лежит между и то Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Теорема Пифагора

Формула площади треугольника

Задача №3

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке . Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка , пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке , от­лич­ной от . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , если , , угол равен .

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая:

1) точка лежит между и (рис. 1);

2) точка лежит между и (рис. 2).

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай.

по­это­му тре­уголь­ни­ки и равны. Зна­чит,

Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай.

, по­это­му тре­уголь­ни­ки и равны. Зна­чит, Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Ответ:

За­ме­ча­ние: на самом деле при вни­ма­тель­ном рас­смот­ре­нии ока­зы­ва­ет­ся, что пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен, так как ока­зы­ва­ет­ся, что — самой длин­ной из сто­рон тре­уголь­ни­ка, а та­ко­го быть не может. Ошиб­ка была до­пу­ще­на со­ста­ви­те­ля­ми за­да­чи. При про­вер­ке, пол­ный балл вы­став­лял­ся, либо в слу­чае, когда были разо­бра­ны оба слу­чая и верно по­лу­че­ны оба от­ве­та, либо в слу­чае, когда была объ­яс­не­на не­воз­мож­ность пер­во­го слу­чая и дан толь­ко один ответ.

Дополнительные задачи

№2

№3

№4