Оглавление (стр. 5 )

Сформировать у учащихся основы элементарных знаний по теории графов и научить решать задачи с помощью граф-моделей.

Задачи курса

Изучить историю графов. Раскрыть теоретические основы теории графов. Более глубоко раскрыть содержание важнейших программных понятий, встречающихся при решении задач. Познакомиться с основными и нетрадиционными приёмами и методами решения задач. Обогатить знания и опыт, научить ориентироваться в различных проблемных ситуациях. Повысить мотивацию обучения. .Сформировать устойчивый интерес учащихся к предмету. Расширить базу математических знаний, достаточную для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Курс состоит из двух разделов (Основ теории графов и использование граф - моделей к решению задач),  которые включают в себя 18 уроков. Предложенный курс согласуется с программным материалом 5-6 классов и является его расширением на более углубленном уровне.

Особенности курса “Элементы теории графов и использование граф - моделей к решению задач ”

Знакомство с методами решения задач, не представленных в базовой программе. Создание более широкого круга математических представлений. Перенос акцентов с формального на содержательное, развитие понятий и утверждений на наглядной основе, повышение роли интуиции и воображения как основы для формирования математического мышления и интеллектуальных способностей. Формирование личностно-ценностного отношения к математическим знаниям, представления о математике как части общечеловеческой культуры, усиление практического аспекта в преподавании, развитие умения применять математику в реальной жизни; Курс особенно полезен для потенциальных участников олимпиад, интеллектуальных марафонов, интеллектуальных турниров.

В результате изучения курса учащиеся должны:

знать элементарные основы теории графов; уметь применить теоретические знания при решении задач; получить навыки решения нестандартных задач; повысить математическую культуру и качество знаний;

Формы проведения занятий: традиционные уроки, лекции, семинары, деловые игры, интеллектуальные турниры, математические бои.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальные, групповые.

Данный курс может являться основой для творческой и исследовательской деятельности школьников.

Для исследовательской деятельности учащимся по данному курсу можно предложить следующие темы:

Старинные задачи. Из истории арифметических действий. Задачи с экономическим содержанием в 5 классе. Графы в 5 классе. Комбинаторика пятиклассника. В стране рыцарей и лжецов. Занимательная математика. Математические головоломки. Блез Паскаль. Леонард Эйлер. Уникурсальные графы. Эйлеровы циклы и пути в графах. Факториал. Дерево возможных вариантов. Раскраска карты. Задачи на “разрезание” и “раскрашивание”. Пять ключевых задач по теории графов.

Для лучшего усвоения материала курса занятия проводятся с использованием компьютерных технологий. Курс можно предложить на 36 часов, если каждое занятие расширить решением задач.

Тематическое планирование элективного курса для 5 -6 классов по математике

“Элементы теории графов и использование граф - моделей к решению задач ”

(1 час в неделю, всего 18 часов )

№ урока	Содержание урока	Примечание
1	Что такое графы? Элементы графа.
2	Изолированные и полные графы.
3	Дополнение графа.
4	Графы с циклом и без циклов.
5	Степень вершины графа.
6	Связность графа.
7	Плоский граф.
8	“Дерево” и “Лес”.
9	Леонард Эйлер..
10	Формула Эйлера
11	Эйлеровы графы
12	Эйлеровы циклы и пути в графах.
13	Лабиринт.
14	Гамильтоновы циклы и пути в графах.
15	Крестики и нолики.
16	Раскраска карты.
17	Сетевое планирование. Сетевой граф.
18	Решение задач.

3.5 Практическая часть курса

Задачи

Задача 1.

А) Поезд шел со скоростью 50 км/ч. Сколько км. прошел поезд за 4 часа?

Б) Толя с бабушкой ходили по грибы. Придя домой они сосчитали, сколько грибов собрал каждый. Оказалось, что бабушка собрала 69, а Толя 43 гриба. Сколько грибов они собрали вместе?

В) Длина ломаной, состоящей из шести звеньев,- 25,8 см. Какова длина одного звена?

Г) Человек прошел расстояние 100 м. Сколько шагов он сделал, если длина его шага ровна 0,8 м?

Задача 2

А) Туристы были в пути 3ч. утром и 4ч. вечером, причем скорость их была постоянной 5 км/ч. Каков путь, пройденный туристами за день?

Б) Совхоз отправил на завод 40 машин с яблоками. В каждой машине было 220 ящиков по 25кг. Сколько тонн яблок отправили на завод?

В) Папа Димы весит 86,5 кг. Дедушка Димы весит на 18,7 кг меньше, чем папа. Дима весит в 2,4 раза меньше, чем дедушка. Сколько весит Дима?

Граф - модель для задачи в два действия может быть такой:

Задача 3.

На одной ферме 847 коров, а на другой на 309 коров больше. Сколько коров на двух фермах?

Задача 4.

А) В двухкомнатной квартире ширина каждой комнаты 4 м, а их длина 7 м и 5 м. Сколько квадратных метров коврового покрытия потребуется, чтобы полностью застелить полы в комнатах?

Б) На лесосеке было 16 штабелей бревен по 55 штук в каждом и 12 штабелей по 42 штуки в каждом. Сколько штук бревен было на лесопилке?

Задача 4.

А) Один автомат в минуту закрывает 60 банок, а другой на 5 банок больше. За сколько минут оба автомата при их одновременном включении закроют 2500 банок?

Б) Из рулона ткани в первый день продали 12,52м, во второй день еще 26,7м, а в третий день 19м. Осталось непроданными 2,48м. Сколько метров ткани было в рулоне?

В) Из 35м ткани сшили 6 костюмов для мужчин и 5 костюмов для мальчиков. При этом 1,55м ткани остались неиспользованными. Сколько метров ткани требуется на один детский костюм и на один взрослый, если на костюмы для мужчин израсходовали 19,2м ткани?

Задача 5.  Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом полученную сумму умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и, наконец, полученную разность разделить на 19, то получится число 23. Найти задуманное число.

Задача 6. Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?

Задача 7. Если задуманное число умножить на 5 и к результату прибавить 1, потом сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2, затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4, то получим число, которое в 16 раз больше числа 135. Найдите это число.

Задача 8. В первом матче футболисты «Звездочки» забили в ворота противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и еще один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в третьем матче, и еще один мяч. В третьем матче они забили вдвое меньше мячей, чем в первом, и еще один мяч. Сколько всего мячей забили футболисты «Звездочки» за три матча?

Задача 9. Колхозница принесла на базар корзину яблок. I покупателю она продала половину всех яблок и еще 1 яблоко, II – половину остатка и еще 1 яблоко, III – половину нового остатка и еще 1 яблоко и т. д. Последнему – шестому покупателю она также продала половину оставшихся яблок и еще 1 яблоко, причем оказалось, что она продала все свои яблоки. Сколько яблок принесла для продажи колхозница?

Задача 10.  На вопрос путника: «Сколько у тебя в стаде голов скота?» - пастух ответил: «Если бы к моему стаду  добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Сколько голов скота было в стаде?

Задача 11.  На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Задача 12.  В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Задача 13.  В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Задача 14.  В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

Задача 15.  У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей?

Задача 16.  Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Задача 17.  Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Задача 18.  В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Задача 19.  Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

Задача 20.  На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

Задача 21.  Смит, Джонс и Робинсон работают в одной поездной бригаде машинистом, кондуктором и кочегаром. Профессии их названы не обязательно в том же порядке, что и фамилии. В поезде, который обслуживает бригада, едут трое пассажиров с теми же фамилиями. В дальнейшем каждого пассажира мы будем почтительно называть «мистер»

2. М-р Робинсон живет в Лос-Анджелесе.

3. Кондуктор живет в Омахе.

4. М-р Джонс давно позабыл всю алгебру, которой его учили в колледже.

5. Пассажир – однофамилец кондуктора живет в Чикаго.

6. Кондуктор и один из пассажиров, известный специалист по математической физике, хотя в одну церковь.

7. Смит всегда выигрывает у кочегара, когда им случается встречаться за партией в бильярд.

Как фамилия машиниста?

Подобрать теоретический материал и задачи можно из предложенного списка литературы, учитывая подготовку и особенности слушателей курса.

Литература

1., ,   Издательство «Панорама» 2006 г.

Издательство «Легион-М» 2009 г. . Энциклопедический словарь юного математика. Москва, Педагогика, 1985 г. Графы в математике и в жизни/программа интеллектуального развития учащихся /выпуск 6./ Инновационно-образовательный центр-М. 1997года. . . Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11 классов. “Просвещение” – “Учебная литература” Москва 1996. . Незнайка в стране графов. М.: КомКнига,2006.

4 Заключение

  В ходе изучения данной темя я приобрела новые знания и новые методы решения задач, значение которых очень важно в различных направлениях. Начиная с решения самых простейших задач, нам становится понятным определение  графов.  Они подразделяются на множество приложений. Если в начале моей работы рассматриваются приложения частного характера, иллюстрирующие  теорию графов и её связь с жизнью, то вторая половина посвящена прикладным разделам теории графов, имеющим практическое значение. Также, на основе изученного материала была проделана исследовательская работа, в которой используются графы. В будущем хочу разработать элективные курсы для 7-9 классов

5 Литература

1., ,   Издательство «Панорама» 2006 г.

Издательство «Легион-М» 2009 г. . Энциклопедический словарь юного математика. Москва, Педагогика, 1985 г. Графы в математике и в жизни/программа интеллектуального развития учащихся /выпуск 6./ Инновационно-образовательный центр-М. 1997года. . Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11 классов. “Просвещение” – “Учебная литература” Москва 1996. . Незнайка в стране графов. М.: КомКнига,2006. . Графы и их применение. Москва, «Просвещение», 1979