Сравнительный анализ метода Розенблатта-Парзена и метода структурной минимизации риска для аппроксимации плотностей вероятностей случайных величин (стр. 5 )

1. Реализован метод аппроксимации плотности вероятности случайной величины на основе метода структурной минимизации риска.

2. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность метода структурной минимизации риска для различных видов распределений.

3. Получены оценки точности аппроксимации метода Розенблатта-Парзена и метода структурной минимизации риска в виде интегрального показателя, характеризующего в целом качество оценки плотности вероятности случайной последовательности.

4. Получены оценки времени вычисления метода Розенблатта-Парзена и метода структурной минимизации риска

5. Получены оценки времени и точности вычисления методов в разрезе видов распределений: одномодальные, двумодальные, трехмодальные.

6. Для малых размеров (<100) выборки целесообразно использовать метод структурной минимизации риска, т. к. погрешность вычисления примерно одного порядка с методом Розенблатта-Парзена, а время вычислений на порядок меньше

7. Для больших размеров (>100) выборки для получения более высокой точности аппроксимации целесообразнее использовать метод Розенблатта-Парзена. Однако с увеличением размера выборки существенно увеличивается время вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.        атематические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

2.         Робастные непараметрические оценки: адаптивные оценки взвешенного максимального правдоподобия в условиях статистической априорной неопределенности / // Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing Gmb H&Co. KG, 2011. 292 с.

3.         Расчет прочностной надежности изделий на основе методов непараметрической статистики / , , // Новосибирск: Наука, 2008. 218 с.

4.         Теория и алгоритмы аппроксимации эмпирических зависимостей и распределений / , // Екатеринбург: УрО РАН, 2006. 166 с.

5. рауновское движение [Текст]: сб. статей. – Ленинград: ОНТИ - Главная редакция общетехнической литературы, 1936. –606 с.

6.         Непараметрическая статистика. [Текст] / // Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1976.  292 с.

7.        атематическая статистика. [Текст] / С. Уилкс // М.: Наука, 1967. 574 с.

8.        епараметрические методы статистики. [Текст] / М. Холлендер // М.: Финансы и статистика, 1983. ‑518 с.

9.         Математическая статистика. – М.: Наука, 1984, 472 с.

10.        , Использование аппроксимации Розенблатта-Парзена для восстановления функции распределения дискретной случайной величины // В мире научных открытий. 2013 №10(46)

11.        , Использование аппроксимации Розенблатта-Парзена для восстановления функции распределения непрерывной случайной величины с ограниченным одномодальным законом распределения // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2013. №08(092). Режим доступа: http://ej. kubagro. ru/2013/08/pdf/76.pdf

12.        , Методика оценивания параметров случайной величины со смешанным двумодальным законом распределения на основе совместного использования аппроксимации Розенблатта-Парзена, метода мнимых источников и генетических алгоритмов // В мире научных открытий. 2014

13.        , Аналитическое исследование особенностей случайных блужданий броуновской частицы в ограниченной области рассеяния // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4 (часть 1). – стр. 57-64

14.        , О выборе математических моделей распределений ограниченных случайных последовательностей [Электр.] / , // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2012. – №10(84). – Режим доступа: http://ej. kubagro. ru/2012/10/pdf/53.pdf

15.         и др. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под редакцией // М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 816 с

16.         Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979, 449 с.

, доктор технических наук, профессор департамента информационных технологий и информатики Уральского Федерального Университета имени первого Президента Ельцина. Основное направление научных исследований – статистическая обработка информации, анализ данных, информационная безопасность. Имеет более 270 публикаций, в том числе 2 монографии. E-mail: s. *****@***ru

, кандидат технических наук, старший преподаватель департамента информационных технологий и информатики Уральского Федерального Университета имени первого Президента Ельцина. Основное направление исследований – параметрические и непараметрические методы статистической обработки информации. Имеет 19 публикаций. E-mail: a. *****@***ru

, студент департамента информационных технологий и информатики Уральского Федерального Университета имени первого Президента Ельцина. E-mail: miss. *****@***ru

Comparative analysis of Rosenblatt-Parzen method and structural risk minimization method for approximation of the probability density functions of random variables *

S. V. PORSHNEV1, A. S. KOPOSOV2, E. I. BEREZOVIK3

1 Federal Autonomous Educational Institution of Higher Professional Education “Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin”, 19, Mira St.,  Yekaterinburg, 620002, Russian Federation, Doctor of Technical Science, Professor. Е-mail: s. *****@***ru

2 Federal Autonomous Educational Institution of Higher Professional Education “Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin”, 19, Mira St., Yekaterinburg, 620002, Russian Federation, PhD in Engineering sciences (Eng.), senior lecturer.

Е-mail: a. *****@***ru

3 Federal Autonomous Educational Institution of Higher Professional Education “Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin”, 19, Mira St., Yekaterinburg, 620002, Russian Federation, fourth-year student,  Е-mail: miss. *****@***ru

In this article are considered the results of comparative analysis of Rosenblatt-Parzen approximation (ARP) and structural risk minimization (SRM) for approximation of probability density of random variables with a bounded scattering region problem. Two approaches to this problem are known: parametric and non-parametric. In accordance to the first approach based on a priori information choose the type of random variable distribution function (DF), which depends on set of parameters, and measure of proximity between theoretical and experimental distribution functions. Non-parametric statistics is based on the approach that allows getting adaptive assessments of empirical DF as some functionalities which do not depend on chosen type of DF based on a priori information.  The method density distribution recovery of experimental sample in ARP is based on an assumption that DF is assessed locally in each point using elements of training set from some area of this point.  And in this general DF is some linear combination of known nuclear functions. The assessment of density distribution (DD) in SRM method is counted as a type of decomposition using system of trigonometrical functions.  The random variables with one - two - and three-modules probability density were used for comparative analysis. The value of integrated error was used for assessment of approximation quality of analysed methods. The assessments of approximation accuracy and calculation time of DD were found via both mmary tables of approximation accuracy and calculation time of DD were created for analysis.  It was formulated conclusions about benefits and disadvantages of each method. It was suggested some recommendations for using this or those methods depending on size of source sample.

Keywords: distribution function, probability density, bounded scattering region problem, non-parametric statistics, empirical distribution function, Rosenblatt-Parzen approximation, fuzziness parameter, nuclear function, structural risk minimization method

REFERENCES

1. Kramer G., Matematicheskie metody statistiki, M. Mir, 1975, 648 p..

2. Simahin V. A., Robastnye neparametricheskie ocenki: adaptivnye ocenki vzveshennogo mak-simal'nogo pravdopodobija v uslovijah statisticheskoj apriornoj neopredelennosti / V. A. Simahin // Sarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing Gmb H&Co. KG, 2011, 292 p..

3. Syzrantsev V. N. [Calculation of reliability of elements of technological pipelines by methods of nonparametric statistics] (in Russian) / V. N. Syzrantsev, Y. P. Nevelev, S. L. Golofast // Novosibirsk: Science, 2008. 218 p..

4. Porshnev S. V. Teoriya I algoritmy approximatsii empericheskih zavisimostei I raspredeenii / E. V. Ovechkin, V. E. Kaplan // Yekaterinburg: UrO RAN, 2006.

5. Einstein A., Smoluhovskij M. Braunovskoe dvizhenie - Leningrad: ONTI - Glavnaja redakcija obshhetehnicheskoj literatury, 1936. -606 p.

6. Tarasenko F. P Neparametricheskaya statistika/ F. P. Tarasenko // Tomsk: Publishing of Tomsk government university, 1976. 292 p..

7. Uilks S. Matematicheskaya statistika / S. Uilks // M.:Science, 1967. 574 p.

8. Hollander M. Neparametricheskie metody statistiki [Nonparametric Statistical Methods]. / M. Hollander // M.: Finansy i statistika, 1983. 518 p.

9. Borovkov A. A. Matematicheskaja statistika - M.: Nauka, 1984, 472 p.

10. Porshnev S. V. Teoriya I algoritmy approximatsii empericheskih zavisimostei I raspredeenii / E. V. Ovechkin, V. E. Kaplan // Yekaterinburg: UrO RAN, 2006.

11. Porshnev S. V., Koposov A. S. [Using Rozeblatt-Parzen approximation for recovering a cumulative distribution function of continuous random veriables with a bounded single-mode distribution rule] // Scientific Journal of KubSAU [Electronic resource] []. Krasnodar: KubGAU, 2013. #08(092). IDA [article ID]:  0921308076.. Available at: http://ej. kubagro. ru/2013/08/pdf/76.pdf

12. Porshnev S. V., Koposov A. S. [Technique of estimation of parameteres of random value with mixed bimodal distribution law based on combined usage of Rozeblatt-Parzen approximation, imaginary sources method and genetic algorithms] // Siberian Journal of Life Sciences and Agricultures, 2014

13. Porshnev S. V., Koposov A. S. Analiticheskoe issledocaniye osobennostei sluchainyh bluzhdaniy brounovskoi chastitsy v ogranichennyh oblasti rasseivaniya // Fundamental research 2013. – № 4 (part 1). – pp. 57-64

14. Porshnev S. V., Koposov A. S. [About making decisions in mathematical models of distributions of bounded random sequences] // Scientific Journal of KubSAU [Electronic resource]. – Krasnodar KubGAU, 2012 - №10(84). ­­­– Available at: http://ej. kubagro. ru/2012/10/pdf/53.pdf

15. Vapnik V. N. and others. Algoritmy i programmy vosstanovleniya zavisimostei / V. N. Vapnik // M.: Science, 1984, 816 p..

16. Vapnik V. N. Vosstanovlenie zavisimostej po jempiricheskim dannym. M.: Nauka, 1979, 449 p.

ISSN 1814-1196, http://journals. nstu. ru/vestnik

science bulletin of the NSTU

Vol. 63, No 2, 2016, pp. 70–89

* Received 15 December 2017.