Всероссийская олимпиадашкольников по математике (2017—2018 уч. г.) школьный этап

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ (2017–2018 уч. г.)

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

8 класс

Задача №1.   На прямой через равные промежутки поставили сто точек, и они заняли отрезок длины m. Затем на прямой через такие же промежутки поставили десять тысяч точек, и они заняли отрезок длины n. Во сколько раз  n  больше  m?

(7 баллов)

Задача №2.   Найдите значение выражения (число n ─ произвольное  натуральное число)

.

( 7 баллов)

Задача №3.   Вычислить 

( 7 баллов)

Задача №4.   В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200-граммовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешается сделать только три взвешивания.

(7 баллов)

Задача №5.   Из вершины  В  треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы  треугольника АВС.

(7 баллов)

Ответы к задачам школьного этапа по математике

в 8 классе.

Задача № 1.  Решение.  Если на прямой, на равных расстояниях друг от друга отмечены 100 точек, значит, промежутков между ними будет ровно 99, на 1 меньше, чем самих точек. Пусть    длина одного такого промежутка, значит,  m = 99  Аналогично рассуждая, получим, что n =  9999  Число  n  больше числа  m  в  = 101 раз.

Ответ: в 101 раз.

Задача № 2. 

  ===

Ответ:

Задача № 3.  Решение. 

2 способ.  Обозначим за  x = 201720172017. Вычислим знаменатель рассматриваемой дроби:
xІ – (x – 1)(x + 1) = xІ – (xІ – 1) = 1. Значит, величина дроби равна ее числителю, то есть 2017.

Ответ: 2017.

Задача № 4.  Решение.  При первом взвешивании положим на левую чашу весов 200 г. и уравновесим весы с помощью крупы, тогда крупы на левой чаше будет 4400г, а на правой – 4600г. Теперь 4400г разделим пополам: тогда на каждой чаше будет 2200г крупы. При третьем взвешивании  отвесим с помощью гири 200г крупы, тогда получим массу оставшейся крупы в одной из кучек 2000г=2кг.

Задача № 5.  Решение.  Проведём в треугольнике АВС Высоту ВН и медиану ВМ. По условию задачи ∠АВН = ∠НВМ = ∠МВС, поэтому в треугольнике АВМ высота ВН является и биссектрисой. Значит,  ∆АВМ равнобедренный  треугольник и АН = НМ.  Опустим из точки М перпендикуляр МК на сторону ВС. ∆ВМН = ∆ ВМК  по гипотенузе  и острому углу, следовательно, НМ = МК.  Так как  ВМ медиана  ∆АВС, то АМ = МС.  НМ = МС.  Значит, МК = МС, т. е. в прямоугольном треугольнике  МКС катет МК  равен половине гипотенузы МС, следовательно,  он лежит против угла в 300.  ∠МСК = 300.  Из прямоугольного треугольника ВСН  находим ∠НВС = 900 –300 = 600  ⇒  ∠АВС  =  600:2 ·3 = 900.  Значит, ∠ВАС = 900 –300 = 600.

Ответ:  ∠А = 600,  ∠С =  300,  ∠АВС = 900.