История математических знаков

История математических знаков

Математические обозначения — символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

1. От индийских значков, показанных в нижней строке (начертание I века н. э.), произошли современные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9.

Для обозначения цифр от 1 до 9 в Индии с VI века до н. э. использовалось написание «брахми», с отдельными знаками для каждой цифры. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими. В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 г. н. э.), понадобился новый значок для нуля. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 года, он имеет вид привычного нам кружочка.

2. Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Маджини (1592) и Непером (1617). Ранее вместо запятой ставили иные символы — вертикальную черту: 3|62, или нуль в скобках: 3 (0) 62; некоторые авторы употребляли чернила разного цвета. В Англии вместо запятой предпочли использовать точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения.

3.

«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель у них записывался над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489).

4. Первое появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения[2].

5. 

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659). Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).

6. 

Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная сФибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ч (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной[3].

7.

Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Правда, Жирар между плюсом и минусом писал ещё словами «или».

8.

Возведение в степень. Современная запись показателя степени введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2. Позднее Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показа, трактовку которых к этому времени уже предложили Стевин, Валлис и Жирар.

9. Символика Кардано 

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом или стилизованной комбинацией (от лат. Radix, корень)[4]. На рисунке справа показано, как Кардано (1585 год) записал равенство:

Современное обозначение знака корня впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году[5]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. 

Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: Rx. u.cu (от лат. Radix universalis cubica)[4]. Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629).[6] Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу.

10. 

Круглые скобки появились у Тартальи (1556) (для подкоренного выражения) и позднее у Жирара[5]. Бомбелли использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же в перевёрнутом виде (1550); такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593)[5]. Однако большинство математиков тогда предпочитали вместо скобок надчёркивать выделяемое выражение. В общее употребление скобки ввели Лейбниц и Эйлер.

11.    Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году.

12    Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году.

13.    Букву i как код мнимой единицы: предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву слова imaginarius (мнимый).

14.    Обозначение абсолютной величины и модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

15.    Символ функции «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в1798 году Лежандром.

16. = Первое печатное появление знака равенства (записано уравнение )

Знак равенства предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.

17. Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик С. Гюнтер в 1882 году.

18    Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.

19. Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности.

20    Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.

21.   Символы нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше».

Геометрия и тригонометрия

1.,   Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок , современную форму ему придал Уильям Отред (1657).
2.   Символ «параллельности» известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально (Отред (1677), Керси (англ. John Kersey) и др. математики XVII века)[7].
3.   Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae. Вновь эти символы использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье (фр. Jacques Peletier du Mans, 1517—1582), после чего они быстро вошли в общее употребление (в частности, у Тихо Браге, Ретика и Кеплера).

4. Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина. 

Общепринятое обозначение числа 3,14159… впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году, взяв первую букву слов греч. ресйцЭсейб — окружность иресЯмефспт — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.
5.    Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Отред в середине XVII века.

6.    Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций , предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века.

7.   Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: , но они не прижились.

Математический анализ

1.    Долгое время математики задавали аргументы без скобок: , скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи и др. Но постепенно использование скобок стало общим правилом.

2.   Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него эти обозначения перенял Ньютон.

3. Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли (1690).

4.   Обозначение приращения буквой впервые употребил Иоганн Бернулли.

5.   Обозначение дифференциала, производной и значительная часть других общеупотребительных символов анализа принадлежит Лейбницу.

6.   Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691).

7.    Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу.

8.    Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

9.    Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2,71828… предложено, естественно, Эйлером (1728, опубликовано в 1736 году).

10.    Символ частной производной сделали общеупотребительным сначала Карл Якоби (1837), а затем Вейерштрасс, хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной работе Лежандра (1786).

11.    Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье и получил поддержку Коши (1821) . Предельное значение аргумента сначала указывалось отдельно, после символа lim, а не под ним. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства[10]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков — например, у Харди (1908).

12. С  имвол этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил Хевисайд (1892).

Другие обозначения

1. % Символ процента появляется в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.

2.    До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века[11].

3.   Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835).

4.    Символ факториала предложил Кристиан Крамп (1808).

5.    Символ бесконечности придумал Валлис, опубликован в 1655 году[5].

6.    Символы логических операций предложил Джордж Буль (1854). Альтернативой являются символ амперсанда & для конъюнкции и вертикальной черты | длядизъюнкции.

7.    Первые символы для кванторов появились в 1879 году, в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения для квантора существования, предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 году, и для квантора общности, образованное Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы слов англ. exists — существует и all — все). Сам термин «квантор» также предложил Пирс.

8.    На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символикаматематической логики. Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у немецкого логика Эрнста Шрёдера. Вначале отношения «содержится» и «является элементом» не различали, но ещё до появления парадоксов теории множествотдельный символ принадлежности: стал использовать Джузеппе Пеано (1895; от греч. еуфй — быть). Он же является автором символов пересечения иобъединения множеств (1888).

Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал: «Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления».

Литература

История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

стория математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 13—17.

История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 208—212.

История математики под редакцией в трёх томах, М., Наука:

Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)

Том 2. Математика XVII столетия. (1970)

Том 3. Математика XVIII столетия. (1972)

Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.

стория элементарной математики / Пер. . — 2-е изд., испр. — Одесса: Mathesis, 1917.

Cajori F. A History of Mathematical Notations. — New York: Cosimo, Inc, 2007 (1929 reprint). — ISBN 978-1-60206-714-1.