XXII Открытая городская олимпиада школьников по математике

XXII Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 5 класс.

Вася желает из цифр 1, 2, 5, 6, 7, 9 составить три двузначных числа, чтобы их сумма была наибольшей из возможных. Сколькими способами он может это сделать? (Способы, отличающиеся друг от друга только порядком слагаемых, считаются одинаковыми).

Ответ: 6.

Решение:  Чтобы сумма была наибольшей из возможных, необходимо, чтобы цифры 9,7,6 стояли в разряде десятков, а остальные три – в разряде единиц, значит, вариантов их перестановок 3! = 3*2*1 =6.

Найдите все шестизначные числа, которые делятся на 45, а четыре средние цифры у них 2017?

Ответ: таких числа два: 820170 и 320175.

Решение:  или .

                       1) число 820170,

               2) число 320175.

Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании – Юра Воробьев, следующий по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем катался?

Решение: Дима Крымов может кататься только с Аней Воробьевой, потому что Инна Крымова – его сестра, а остальные девочки выше его. Тогда Сережа Петров может кататься только с Инной Крымовой, Андрей Егоров – только с Олей Петровой, а Юра Воробьев – с Люсей Егоровой.

На электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки высвечивается хотя бы в одном месте цифра 2?

Ответ: 10ч 30мин.

Решение: Цифра 2 бывает на первом месте в течение 4 часов (от 20.00 до 00.00). В остальные 20 часов она бывает на втором месте 2 часа (от 02.00 до 03.00 и от 12.00 до 13.00). В оставшиеся 18 часов цифра 2 бывает на третьем месте по 10 минут, а в остальные 50 минут каждого часа еще 5 раз по одной минуте на четвертом месте, итого по 15 минут в каждый из 18 часов, то есть 4 часа 30 минут. Всего получаем 4ч + 2ч + 4ч З0мин = 10ч 30мин.

В мешке содержится 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов с гирями в 50 г и 200 г (по одной штуке) распределить всю крупу по двум пакетам: в один – 2 кг, в другой – 7 кг. При этом разрешается произвести только три взвешивания.

Решение:  Достаточно даже одной гири в 200 г. При первом взвешивании кладем на чашку весов гирю в 200 г. И высыпаем всю крупу на чашки весов так, чтобы весы были уравновешены. Тогда на одной чашке будет 4 кг 400 г, на другой – 4 кг 600 г крупы. При втором взвешивании аналогично рассыпаем 4 кг 600 г, получаем 2 кг 400 г и 2кг 200 г. При третьем взвешивании от 2 кг 200 г отвешиваем 200 г.

г. Петропавловск – Камчатский, 23. 04. 2017 г.

XXII Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 6 класс.

В книгах новгородских писцов XV века упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?

Ответ:  Могут: в бочке 4 насадки.

Решение: Действительно, из первого условия следует, что две бочки уравнены с 20 ведрами кваса. Поэтому одна бочка содержит 10 ведер кваса.

Так как 19 бочек + 1 насадка + 15,5 ведер уравниваются с 20 бочками + 8 ведрами, то

1 насадка + 15,5 ведер – 8 ведер = 20 бочек – 19 бочек; 1 насадка + 7,5 ведер = 1 бочка; 1 насадка + 7,5 ведер = 10 ведер; 1 насадка = 2,5 ведер. Следовательно, в бочке 4 насадки.

Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: “Теперь твои лета составляют моих лет, а за четыре года перед сим лета твои равнялись моих тогдашних лет”. Спрашиваются лета каждого.

       Ответ: отцу – 40, дочери – 16 лет.

Решение:  можно обойтись без операций с дробями. Пусть возраст отца = 5х, тогда возраст дочери = 2х лет. Четыре года назад отцу было  (5х – 4), а дочери (2х – 4) лет. При этом возраст отца – в 3 раза больше. Значит, 5х – 4 = 3(2х – 4), откуда х = 8.

Сумма ста чисел равна 1000. Самое большое из них увеличили в 2 раза, а еще одно число уменьшили на 10. Оказалось, что сумма не изменилась. Найдите самое маленькое из исходных чисел.

Ответ: 10.

Решение:  При увеличении самого большого числа вдвое сумма увеличилась на это число. Это было скомпенсировано уменьшением суммы на 10. Значит, самое большое число равно 10. А поскольку сумма всех 100 чисел равна 1000, то все числа равны 10.

В очереди за билетами в кино стоят друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега, Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Кто за кем стоит?

Ответ: Друзья стоят в очереди в следующем порядке: Олег, Юра, Володя, Миша и Саша. 

Решение:  Так как Саша может стоять рядом только с Мишей, он – либо первый, либо последний. Но впереди Миши стоит Юра, следовательно, Миша не может быть вторым, а поэтому Миша – предпоследний, а Саша – последний. Очевидно. Олег стоит впереди Юры, а так как Володя не стоит рядом с Олегом, он может находиться только между Юрой и Мишей, то есть в середине.

Турист хочет приготовить себе на завтрак два яйца всмятку и еще четыре сварить вкрутую, чтобы взять их в дорогу. Яйца всмятку варятся 2 минуты; вкрутую – 4 минуты (яйца кладутся в кипящую воду). За какое наименьшее время турист может сварить яйца, если у него есть кастрюлька вместимостью четыре яйца.

Ответ: 5 минут. 

Решение: Сначала турист должен положить в кипящую воду четыре яйца. Через минуту вынуть два яйца и заменить их оставшимися двумя. Спустя еще три минуты вынуть два яйца, сваренных вкрутую (1 + 3 = 4), а на их место положить яйца, вынутые в первый раз, и варить еще минуту (3 + 1 = 4, 1 + 1 = 2). Всего пять минут. 

г. Петропавловск – Камчатский, 23. 04. 2017 г.

XXII Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 7 класс.

На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число остальных абитуриентов  – верно решивших все задачи – относится к числу не решивших вовсе, как 5:3. Сколько человек экзаменовалось по математике в этот день?

Ответ: 240. 

Решение:  Количество абитуриентов, верно решивших все задачи, составляет от  общего числа поступающих. Следовательно, 144 человека, решивших задачи с ошибками, составляют 100% – (15%+25%)=60% от искомого общего числа. Таким образом, это число равно .

Как прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбить на два равных пятиугольника и два равных прямоугольных треугольника?                                        Ответ: см. рис.

3	3
4

Магический квадрат — таблица 3 × 3, заполненная натуральными числами так, что суммы во всех строках, во всех столбцах и двух главных диагоналях равны. Три числа известны. Можно ли восстановить остальные числа?

Ответ: да, можно: (3,3,6,7,4,1,2,5,5).

Коля и Витя живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах их дома расположено по четыре квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире № 83, а Витя – на третьем этаже в квартире № 000. Сколько этажей в их доме?

Ответ: 8.

Решение: Пусть n – количество этажей в доме, l – количество подъездов до подъезда, в котором живет Коля, k – количество подъездов до подъезда, в котором живет Витя. Тогда из условия получаем систему  83=4nl+16+3 (остаток от деления 83 на 4),

169=4nk+8+l (остаток от деления 169 на 4).

Из первого уравнения следует, что nl=16, из второго уравнения – что nk=40. У чисел 16 и 40 четыре общих делителя: 1, 2, 4, 8. Поскольку известно, что Коля живет на 5-м этаже, n≥5; следовательно, n =8.

В стозначном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули цифры на нечетных местах. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?

Ответ: 4.

Решение: После первого вычеркивания остаются цифры, стоящие в заданном числе на четных местах, после второго – стоящие на местах, кратных четырем; после третьего – на местах, кратных восьми, и т. д. Самая большая степень двойки, не превышающая сотни, – 64. Поэтому последней будет вычеркнута цифра, стоящая в заданном числе на 64-м месте, то есть 4.

г. Петропавловск – Камчатский, 23. 04. 2017 г.

XXII Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 8 класс.

Ира, Витя и Коля взяли по порции всех сортов мороженого: фруктового, сливочного и шоколадного. Однако трех порций каждому оказалось мало, и Ира взяла еще порцию фруктового, Витя – сливочного, а Коля – шоколадного мороженого. Уходя, они уплатили: Ира – 70 коп., Витя – 80 коп., Коля – 90 коп. Сколько стоит порция каждого мороженого?

Ответ:  порция фруктового мороженого стоит 10 копеек, сливочного – 20 копеек, шоколадного – 30 копеек.

Решение:  Если обозначить через х стоимость фруктового мороженого, то сливочное будет стоить x+10, а шоколадное – x+20. Общая цена взятого мороженого – 240 копеек, и в то же время 4(х+х+10+х+20)=12х+120. Получаем, что х=10, откуда и следует ответ.

Разделите круглый циферблат часов на три части так, чтобы сумма чисел в каждой части была равна 17.

Ответ: пример на рис. 

Решение:  Поскольку сумма всех чисел на циферблате составляет 78, ее необходимо уменьшить до 51 с помощью какой-либо «хитрости». Ясно, что «хитрость» в том, чтобы вместо чисел 10, 11 и 12 рассматривать «сумму цифр» 1+0, 1+1 и 1+2. Теперь нетрудно отыскать приведенное на рисунке (или аналогичное) решение.

Существуют ли такие значения m и n, при которых многочлены и одновременно принимали бы отрицательные значения?

Ответ: нет. Решение: Сумма заданных многочленов равна , т. е. не может быть отрицательным числом, а значит, оба многочлена одновременно отрицательными быть не могут.

На отрезке AD как на диаметре построена окружность. Из точки А по разные стороны относительно АD проведены лучи пересекающие окружность в точках B и C. Прямые CD и AB пересекаются в точке E, прямые  BD и  AC  в точке F, а прямые EF и AD  в точке G. Найдите угол EAF, если BGC=40°.

Ответ: 70°. 

Решение: Из условия задачи углы ABD и AСD прямые. Тогда четырехугольник EBCF – вписанный, так как прямые углы EBF и ECF опираются на диаметр EF. Тогда из треугольника BFE = б, BEF = 90° – б. А углы BFE =BCE = б, как опирающиеся на одну дугу. Тогда ACB =AСD – BCE = 90° – б =BEF. Аналогично ABC=AFE. Тогда получаем что треугольники AFE и ABC подобны. Аналогично треугольники CFG и EBG подобны треугольнику AFE. Тогда BGE = BAC =CGF = (180° – 40°) / 2 = 70°.

Вдоль аллеи, ведущей от ворот к зданию школы, стоят 20 столбиков, каждый из которых имеет высоту либо 20 см, либо 30 см, либо 40 см. Восьмиклассник, пройдя по аллее от школы до ворот, насчитал 11 столбиков, каждый из которых был ниже следующего за ним. Докажите, что, возвращаясь в школу, он насчитает не меньше 5 таких столбиков.

Решение:  Пусть, идя от школы к воротам, восьмиклассник пишет на каждом столбике, кроме последнего, разность между его высотой и высотой следующего столбика. На 11 столбиках, которые ниже следующих за ними, будут написаны отрицательные числа, на остальных восьми - положительные числа или нули. При этом каждое из отрицательных чисел будет равно –10 или –20, каждое из положительных будет равно 10 или 20, а сумма всех написанных чисел будет равна разности между высотами последнего и первого столбиков. Так как сумма отрицательных чисел не больше –110, сумма положительных должна быть не меньше 90 (иначе разность между высотами последнего и первого столбиков будет меньше –20), то есть положительных чисел должно быть не меньше пяти. Осталось заметить, что если на столбике А написано положительное число, то восьмиклассник, идя от ворот к школе, отметит столбик, идущий перед А, как такой, который ниже следующего за ним. (Идея этого решения – принцип Дирихле).

г. Петропавловск – Камчатский, 23. 04. 2017 г.