УРОК 60.
Тема: Вписанная и описанная окружность.
Прежде чем перейти к теме урока, повторим теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Определение. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.1). |
В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.
Рис. 1
Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула | Обозначения |
Произвольный треугольник |
|
Посмотреть вывод формулы | a, b, c – стороны треугольника,
|
Посмотреть вывод формулы | |||
Равнобедренный треугольник |
|
Посмотреть вывод формулы | a – боковая сторона равнобедренного треугольника, |
Равносторонний треугольник |
|
Посмотреть вывод формулы | a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности |
Прямоугольный треугольник |
|
Посмотреть вывод формул | a, b – катеты прямоугольного треугольника, |
.
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема 3 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
,
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности,
– полупериметр (рис. 6).
Рис. 2
Доказательство. Из формулы
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
Теорема 4. Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
,
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 3).
Рис. 3
Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула
,
где
,
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
получаем
что и требовалось.
Теорема 5 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 4).
Рис. 4
Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула
,
то, в случае равностороннего треугольника, когда
b = a,
получаем
что и требовалось.
Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т. е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 6. Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 5.
Рис. 5
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,
СВ = СF= r,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
Определение. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.1). |
В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.
Рис.6
Свойства описанной около треугольника окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Серединные перпендикуляры |
| Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. |
Окружность, описанная около треугольника |
| Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
| Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне тренгольника. |
Радиус описанной окружности |
| Для любого треугольника справедливо равенство:
где a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Теорема 7. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 7).
Рис. 7
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO.
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO.
Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC(рис. 2).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Выполните задания.
