Игра «Математическая абака». 31.03.2018. Решения
Раздел «Логика».
Вы опросили 1000 аборигенов, сидящих за огромным столом, и все они сказали: «Все остальные собравшиеся — лжецы». Сколько среди них лжецов? Ответ: 999.Решение. Все лжецами или рыцарями быть не могут, иначе, рыцари будут лгать, а лжецы говорить правду. Тогда существует хотя бы 1 рыцарь, который говорит правду, значит, все, кроме него, лжецы.
На планете Апчхи живут бяки, буки, зелюки и хрюмзики. Известно, что любой бука является бякой, но ни один бука не является хрюмзиком. Если зелюк не бяка, то он обязательно хрюмзик. Сколько бук являются зелюками, если они не бяки? Ответ: 0.Решение. Бука не может быть не бякой.
Лёша и Гоша вскапывали на огороде грядку. Они начали работу с противоположных концов грядки, двигаясь навстречу друг другу. Гоша копал в два раза быстрее, чем Лёша, но зато после каждого вскопанного метра устраивал перерыв на 20 минут, а Лёша копал хоть и медленно, но без перерывов. Через 2 часа после начала работы Лёша добрался до середины грядки и обнаружил там выполнившего свою половину работы Гошу. Чему равна длина грядки? Ответ: 6 метров.Решение: Поскольку скорость Гоши в 2 раза больше, чем у Леши, то время, которое потратил Гоша именно на вскапывание грядки будет в 2 раза меньше. Поскольку Леша вскопал половину грядки за 2 часа, то Гоша вскопал грядку за: 2:2=1 час или 60 минут. 60:20=3 перерыва делал Гоша во время работы. А поскольку он делал перерыв после каждого метра, до половина грядки - это 3 метра. 3*2=6 метров длина всей грядки.
Решение. Изначально все рыцари сидят на синих стульях, а все лжецы на красных. Значит, количество рыцарей, пересевших на красные стулья, равно количеству лжецов, пересевших на синие стулья. И те, и другие сказали, что сидят на красных стульях. Всего сказавших, что сидят на красных стульях, – 10. Значит, на красных стульях сидит 10 : 2 = 5 рыцарей.
Каждый день баран учит одинаковое количество языков. К вечеру своего дня рождения он знал 1000 языков. В первый день того же месяца он знал к вечеру 820 языков, а в последний день этого месяца – 1100 языков. Когда у барана день рождения? Ответ: 19 февраля.Решение. За месяц, в котором у барана день рождения, не считая первый день, баран выучил 1100 – 820 = 280 языков. В месяце может быть 28, 29, 30 или 31 день. Значит, в месяце без одного дня: 27, 28, 29 или 30 дней. Так как каждый день баран учит одинаковое количество языков, то 280 должно делиться на это количество дней без остатка. Этому условию удовлетворяет только число 28, значит, за один день баран учит 280 : 28 = 10 языков. Со второго дня месяца до дня рождения баран выучил 1000 – 820 = 180 языков. Следовательно, прошло 18 дней, то есть день рождения у барана – 19 февраля.
Решение. Будем считать, что в таблице 7 строк и 8 столбцов. Очевидно, в каждом столбце должно быть не менее трёх синих и не более трёх красных клеток. Поэтому всего красных клеток не более 24, а синих - не менее 24. Далее, в каждой строке не более четырёх синих клеток, причём должно быть хотя бы три строки с четырьмя синими 4клетками, иначе синих клеток меньше 24. Но в строках, где по 4 синих клетки, должно быть и по 4 красных, а в остальных – не меньше трёх красных. Поэтому красных клеток -–не менее 24. Но это значит, что их ровно 24: в трёх строках- по 4 и в четырёх строках – по 3.Поскольку в тех строках, где красных клеток по 3, синих не больше, чем по 3, их там тоже ровно по 3, иначе всего синих клеток будет меньше 24. Таким образом, в трёх строках таблицы по 4 красных и синих клетки, а в остальных четырёх строках – по 3 красных и синих клетки. Оставшиеся 8 клеток, очевидно, зелёные.
Раздел «Геометрия».
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две одинаковые части тремя способами (резать можно только по сторонам сетки).
Ответ: 
Решение. Пусть длина третьей стороны равна x. С одной стороны, должно быть x < 3,14 + 0,67. С другой стороны, должно быть x + 0,67 > 3,14. Из этих условий и условия целочисленности x получим x = 3.
Решение: Наибольшее количество точек пересечения трёх прямых равно 3. При этом плоскость разбивается на 7 областей. Если прямые параллельны – 4 области. Если все прямые пересекаются в одной точке – 6 областей. Если прямые попарно пересекаются, но две из трёх точек пересечения лежат на сторонах квадрата, то образуется 5 частей. Меньше четырёх невозможно, так как две пересекающиеся прямые дают четыре области.
Примеры: 
Решение. Поскольку АН=HL, прямоугольные треугольники АНВ и LHC равны по катету и гипотенузе. Следовательно, ВН=НС и треугольник ВНС – равнобедренный прямоугольный, откуда и следует ответ.
На прямой отмечена 101 точка. Сколько всевозможных отрезков с концами в этих точках можно назвать? Ответ: 5050.Решение. Упорядочим подсчёт отрезков. От крайней левой точки подсчитываем отрезки с концом в оставшихся. Всего таких – 100. От второй слева точки – 99 и т. д. От предпоследней – 1. Всего 100+99+98+…+1 = (100+1)∙50=5050.
В треугольнике ABC ∠B = 20◦,∠C = 40◦ . Биссектриса AD равна 2. Найдите разность длин сторон BC и AB. Ответ: 2.Решение. На стороне BC отложим отрезок BM, равный AB. В равнобедренном треугольнике ABM углы при основании AM равны по 80◦ , поэтому ∠CAM = ∠AMD −∠ACB = 80◦− 40◦ = 40◦ = ∠ACM. Кроме того, ∠ADM = ∠ABC + ∠BAD = 20◦ + 60◦ = 80◦ = ∠AMD. Значит, треугольники AMC и AMD равнобедренные. Следовательно, BC − AB = BC − BM = CM = AM = AD = 2.
Раздел «Сколько?».
Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько 17-значных горбатых чисел? Ответ: 17. Когда скупой рыцарь раскладывает свои монеты стопками по 1009 штук, у него останется 9 монет. Сколько монет может остаться, если он будет их раскладывать по 2018 штук? Ответ: 9 или 1018.Решение. Соединим стопки по 1009 штук парами. Если стопок по 1009 штук чётное количество, то остаток будет -9 , если нечётное – 1009+9=1018.
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (как, например, 12321 и 25852)? Ответ: 900.Решение: Если число слева направо и справа налево читается одинаково, то первая цифра — такая же, как последняя, а вторая — такая же, как предпоследняя. При этом первая цифра какая угодно, кроме 0, а вторая и третья цифра могут быть любыми. То есть таких чисел столько же, сколько и обычных трёхзначных чисел, а именно 9 · 10 · 10∙1∙1 = 900.
Требуется проложить трассу газопровода на участке длиной 450 м. В распоряжении строителей имеются трубы длиной 9 и 13 м. Сколько труб той и другой длины нужно взять для прокладки трассы, чтобы число сварных швов было минимальным? Трубы резать нельзя. Ответ: 11 маленьких и 27 больших.Решение. Пусть х – маленьких труб и у – больших. Тогда 9х+13у=450. Решаем уравнение в целых числах. Данному уравнению удовлетворяют пары (11;27), (24; 18), (37; 9), (57; 0). Наименьшему количеству сварных швов соответствует наименьшая сумма х+у, т. е. 11+27.
Имеется бутылка кваса. Объем бутылки кваса – 1,5 литра. Первый выпил половину бутылки, второй – треть того, что осталось после первого, третий – четверть оставшегося от предыдущих, и так далее, четырнадцатый – пятнадцатую часть оставшегося. Сколько кваса осталось в бутылке? Ответ: 0,1 литра.Решение. Заметим, что если уменьшить некоторую величину на 1/n ее часть, то останется (n-1)/n от этой величины. Значит, оставшийся объем кваса равен:
1,5⋅ 1/2 ⋅ 2/3 ⋅...⋅ 14/15 = 1,5⋅ 1/15 = 0,1 литра.
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две разноцветных ладьи так, чтобы они не били друг друга? Ответ: 3136.Решение. Чёрную ладью можно поставить на любое из 64 мест. Где бы она ни стояла, она бьёт 14 полей (7 по горизонтали и 7 по вертикали). То есть белую ладью можно поставить на любую клетку, кроме той, где стоит чёрная, и тех 14, что она бьёт. Таких клеток 49. Значит, всего способов 64 · 49 = 3136.
Раздел «Числа».
Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое. Запишите все возможные варианты. Ответ: 532 делится на 14, а 215 делится на 43. Дана последовательность натуральных чисел: 3, 7, 15, 31, 63, 127,… . Какое число стоит на 10-м месте в этой последовательности. Ответ: 2047Решение.
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 10 |
Член последовательности | 22-1 | 23-1 | 24-1 | 25-1 | 211-1=2047 |
Решение: Заметим, что даже самое маленькое двузначное число в кубе даёт четырёхзначное число: 103=1000, поэтому А=2. Имеем 2Р2=Р2Т, далее, поскольку 202=400, а 302=900, то Р может быть только 4, 5, 6, 7,8. Перебрав все варианты, получаем единственно возможное число.
На сколько нулей оканчивается число
-1, если известно, что число 100….01 содержит 2017 нулей. Ответ: 2018. Сколько всего делителей имеет число 20192018? Ответ: 20192 В вершинах квадрата записали четыре натуральных числа. Возле каждой стороны записали произведение чисел в её концах. Сумма этих произведений равна 33. Найти сумму чисел в вершинах. Ответ: 14. Решение. Пусть в вершинах квадрата были записаны числа a, b, c, d. Тогда возле сторон записали произведения ab, cd, ac, bd. Их сумма равнаab + cd+ac+bd = 33 или (a+d)(b+c)=33. 33=1*33 или 33=3*11. Первое равенство невозможно, так как сумма натуральных чисел не может быть равной 1. Тогда пусть a+d= 3, b+c=11 (или наоборот), тогда сумма в вершинах равна 3+11=14.
