«Тригонометрические уравнения на уроках математики и физики»

«Тригонометрические уравнения на уроках математики и физики»

Межпредметное направление: Ракурс: математический объект

Выполнила:

Юнусхожиева Шохсанамхон, ученица 11 класса

МОУ «Лицей № 3 им.  

г. Ртищево  Саратовской области»

Руководитель: ,

учитель математики 

2016 г.

Оглавление.

Введение  3

Глава I. Что такое тригонометрия?  5

Из истории тригонометрии.  Основоположники тригонометрии. Названия и обозначения тригонометрических функций.

Глава II. Тригонометрические уравнения.  7 

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения.

2.2 Схемы решения тригонометрических уравнений.

2.3 Способы отбора корней тригонометрического уравнения.

Глава III. Практическое применение тригонометрии.  9

3.1 Тригонометрические уравнения в алгебре.  9

3.2 Геометрия и тригонометрические уравнения.  11

3.3 Тригонометрия и физика.  13 

Заключение.  15 

Список используемой литературы.         16

Введение.

Наука только тогда достигает совершенства, 

  Когда ей удается пользоваться математикой.

К. Маркс

  Математика - это не только самостоятельная наука о «математических структурах», но и язык других наук, язык единственный, универсальный, точный, простой и красивый. Об этих качествах математики хорошо сказал советский математик : «Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика.  Ее понятия,  представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки». Каким же образом математика применяется в изучении физических, химических, биологических и других явлениях? Ответ на этот вопрос очень многообразен, поэтому я решила осветить только часть этого вопроса. Тема моей работы «Тригонометрические уравнения на уроках математики и физики».  Тригонометрия - раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также тригонометрические тождества, тригонометрические уравнения. С 8 класса мы изучаем тригонометрию, при этом у нас часто возникал вопрос: зачем она нужна? Где ее применять и зачем вообще ее изучают? Переходя из класса в класс, мы начали понимать, что тригонометрия нужна, что тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах деятельности людей. Решая задачи по геометрии, мы часто используем теоремы синусов и косинусов, определение тригонометрических функций углов, формулы приведения. Но я думаю, что это не исчерпает применение тригонометрии в геометрии. Я решила отыскать геометрические задачи с нетрадиционным применением тригонометрии.

В этом году мне предстоит сдача ЕГЭ по математике. Так как я буду сдавать этот экзамен на профильном уровне, то я решила более подробно изучить вопрос о приемах отбора корней тригонометрического уравнения. Такие задания встречаются во 2 части ЕГЭ по математике: решить уравнение и выбрать корни, принадлежащие отрезку. Так как я учусь в классе физико-математического профиля, то мне интересно знать о применении тригонометрии, а именно тригонометрических уравнений, в физике.

Основополагающий вопрос: Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?

Цель: показать практическую значимость тригонометрии в различных сферах деятельности человека.

Задачи: - узнать историю развития тригонометрии. Познакомиться с деятельностью ученых, внесших вклад в развитие тригонометрии;

- расширить знания о тригонометрических функциях и уравнениях;

-научиться применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

Гипотеза: существует ряд задач в различных областях науки, решение которых требует привлечения расширенных знаний по тригонометрии.

Глава I. Что такое тригонометрия?

  Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости разбора способов вычисления элементов геометрических фигур по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений. 

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: «тригонон» - треугольник, «метрейн»-измерение. Понятие «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 году немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II веке до н. э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы вошли в сочинение «Великое построение»(Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея (II половина  II века н. э.). Автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц.  Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-XII н. э. индийские математики составили таблицу синусов, им были известны соотношения, которые в современных обозначениях пишутся так: sin2x+cos2x=1; cosx=sin(-x). 

Ученые исламского мира к концу Х века наряду с синусом и косинусом оперировали четырьмя другими функциями: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Они открыли и доказали несколько теорем плоской и сферической тригонометрии, используя окружность единичного радиуса (что позволило истолковать тригонометрические функции в совершенстве).  В  XII-XIII в. в в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии, как отдельной науки. С XV века и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Было издано и составлено несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 году при участии . Ф. Виет систематизировал различные случаи плоских и сферических треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон разложил тригонометрические функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.  Современный вид тригонометрия получила в трудах швейцарского математика, члена российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Он ввел понятия функции и принятую в наши дни символику. Иоганн Бернулли (1667-1748) ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками «sin» и «cos». 

Названия тригонометрических функций.  Синус - от греч. «хорда» - «струна», на инд. «джива» - «тетева лука», на араб. «джайб» - «пазуха», «впадина», что на латыни звучит, как синус.  Тангенс - от латинского tangens  - «касающийся». Секанс - от латинского secans - секущая(прямая).  Косинус, котангенс, косеканс были введены английским ученым Гюнтером в 1620 году. Приставка «ко» означает «дополнение».  В 1748 году во «Введении в анализ бесконечных» Леонард Эйлер впервые трактует синус и косинус не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал, как числовые величины. 

Нам часто кажется, что тригонометрия-это скучный набор формул и графиков. А ведь многое из того, что нас окружает: восход и закат солнца, приливы и отливы, биение сердца и эпидемии гриппа - это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями.

Глава II. Тригонометрические уравнения.

  В современной тригонометрии выделяют два наиболее часто встречающихся типа задач, содержащих тригонометрические функции: преобразование тригонометрических выражений и решение тригонометрических уравнений. 

Элементарные тригонометрические уравнения - это уравнения вида f(kx+b)=a, где f(x)-одна из тригонометрических функций:sinx, cosx, tgx, ctgx.

Основная схема, которой руководствуются при  решении тригонометрических уравнений, следующая: решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложение на множители, замена неизвестного. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению мы следим за тем, чтобы каждое последующее уравнение являлось следствием предыдущего.  Одна из особенностей тригонометрических уравнений состоит в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Например, для уравнения sinx=a(|a|≤1) ответ может быть записан в виде двух серий:  x=arcsinа+2рn, x=р-arcsina+2рk, n, k, либо в стандартной форме, представляющей собой объединение первых 2х серий:x=(-1)narcsina+рn, n

Решение тригонометрических уравнений - один из интереснейших и одновременно трудных элементов школьного курса математики. Решение тригонометрического уравнения требует владения рядом умений и навыков, среди которых умение отбирать корни в соответствии с наложенными условиями. При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов:

Арифметический способ. Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней приходиться в случаях, когда требуется отобрать корни, принадлежащему отрезку или некоторому условию.

Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой или значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными. Для этого решают неравенство относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисления корней.

Геометрический способ. Решение  простейших тригонометрических уравнений с применением тригонометрического круга или  графика тригонометрической функции.  а) Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2р, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в отрезок, являются не табличными значениями.  б) При изображении решения простейших тригонометрических уравнений иногда используют их графики. Для нахождения решения тригонометрического уравнения при этом подходе требуется построение «кусочка» графика.

Глава III. Практическое применение тригонометрии.

  Рассмотрим на конкретных  примерах практическое применение тригонометрических уравнений на уроках математики и физики.  Задание №13 вариант 6 из сборника ЕГЭ по математике (профильный уровень) под редакцией 2016 год.

а) Решить уравнение cos2x – cos2x = 0,75 . б) Укажите корни этого отрезка, принадлежащие отрезку [-2р;.

Решение. Применяя формулу двойного угла для косинуса, получим: sin2x =, sin x = . Откуда х = 

б) Арифметический способ: иногда удобно находить корни, принадлежащие отрезку, способом перевода в градусную меру.

Если  х =+ рn, nZ, значит, х=60+180

Если х=Z, x= - 60+180n, n

Условие х[-2р; можно записать в виде  х[-360 Указанному промежутку принадлежат следующие значения -120или в радианах , .

А можно так: х= . n= -3, х = . Данный корень не принадлежит заданному отрезку. При n = -2 и n = -1 получаем х= и  х =. Данные корни принадлежат [-2р; Аналогично находим  х =  [-2р; при n= -1 из второй серии корней. 

Алгебраический способ:  х = .  1)  -2р 

n ≤  Так как nто n= -2;-1,  значит,  х =

2)

n≤

-1

Так как nто n=-1,значит, х=

Геометрический способ:

С помощью единичной окружности. Отметим на единичной окружности концы отрезка [-2р; Отмечаем все получившиеся корни исходного уравнения.

Выбираем корни и вычисляем их значения.

  Х2  y  -  X3 

  - р  -2р  x

  X1  -  

Итак, решением исходного уравнения является: x1=2=,  Х3=

С помощью графика функции у=sinx

  -5П/3  -4П/3    -2П/3

Так как многие мои одноклассники планируют сдавать ЕГЭ по математике на профильном уровне, то я поинтересовалась у них, какой способ отбора корней они предпочитают, и вот что получилось:

Всем нам хорошо известно, что большое число разнообразных арифметических задач решаются с помощью алгебраических уравнений. Возникает вопрос, а нельзя ли применить тригонометрические уравнения к решению геометрических задач.

Рассмотрим примеры таких задач: 1. В неравнобедренном  треугольнике из вершины одного угла проведены высота, биссектриса, медиана. Известно, что этот угол разделился на 4 равные части. Определите углы треугольника.

Рис.1.

Пусть треугольник АВС удовлетворяет условию задачи (см. рис.). Так как углы равны, то обозначим каждый через х. Применяя теорему синусов к треугольника СВМ и ВАМ, запишем следующие соотношения:

ВАМ: = CBM: =

Так как ВМ является медианой треугольника, то СМ=МА, поэтому приходим к уравнению sin2x=sin6x, это уравнение можно решить с помощью теории равенства одноименных тригонометрических функций: для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий:

Разность этих углов должна равняться р, умноженному на четное число Сумма этих углов должна равняться р, умноженному на нечетное число.

Sin2x=sin6x, так как угол А не может быть равен нулю и не может быть больше 180, то 2х+6х= р

8х=180, х=22,5. Тогда угол В  = 90, угол А = 67,5; С=22.5

Задача 2: в равнобедренном треугольнике сумма основания и высоты, приведенной к основанию, равна удвоенной боковой стороне. Определите величину угла при основании треугольника. 

В  Н  С

  Решение: пусть в  АВС сторона АВ=АС. Обозначим неизвестный угол при основании через х. Согласно условию АН+2ВН=2АВ. Отсюда следует АН=asinx, BH=acosx, BC=2acosx. Составим уравнение: 2acosx+asinx=2a, 2cosx+sinx=2. Решая уравнение, получим:  2cos2 _ 2sin2 + 2sincos = 2(cos2 sin2),  sin (cos _ 2sin ) = 0, 

sin = 0, что противоречит условию или cos2sin  , tg= . Используя формулу tgx= , получим  tgx=,  x= arctg.

  В окружающем нас мире приходиться сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называются колебательными контурами. Эти явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например, гармонические колебания, механические колебания, колебания переменного электрического тока. Гармонические колебания - явления периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний может быть представлено в виде:  х(t)=Asin(wt+б) или x(t)=Acos(wt+б),где х - смещение от положения равновесия в момент времени t, w-циклическая частота, (wt+б)- полная фаза колебаний, начальная фаза колебаний.

Задача 1: точка совершает гармоническое колебание, которое описывается уравнением х=0,05cos20рt. Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда  смещение точки от положения равновесия равно 25 мм.

Дано: х=0,05cos20рt;  х=0,025м

Найти:t-?;v-?;a-?

Решение: для того чтобы найти время составим уравнение:

0,05cos20рt=0,025

Cos20t=0,5; t=(cек).

Из курса алгебры и математического анализа известно, что скорость точки есть производная от пути по времени, т. е. v(t)=x/(t), а ускорение a(t)=x//(t)

v(t)=-0,05sin20рt20р=-рsin20рt; v()= - р = - = -1,57( м/с);

a(t)=-р220cos20рt; a()= -20р2.2= -100(м/с2).

Задача 2: Заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону: q(t)=0,02cos(t+3р). В какие моменты времени в течение периода сила тока в контуре составляет   максимального значения?

Решение: изучая физические закономерности, связывающие изменения заряда и силы тока в контуре, мы знаем, что q/(t)=I(t), тогда уравнение изменения силы тока будет иметь вид: I(t)=-0,03рsin(

В задаче известно, что сила тока в данный момент времени составляет от максимального значения, которое равно 0,03р, составим уравнение:

= -0,03 sin(-sin(; t+3р = - arcsin();

  t= -arcsin-2 - не удовлетворяет условию t>0;

t = t+3р= р - arcsin(-;  t=arcsin-.

Ответ: t =arcsin-.

Заключение. В результате выполнения данной работы:

- я узнала об истории возникновения тригонометрии;

- подробно изучила приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях;

-узнала о применениях тригонометрии в геометрии, физике и других областях науки.

Я надеюсь, что проделанная мною работа поможет мне лучше подготовиться к ЕГЭ. С результатами своей работы я познакомила своих одноклассников, думаю, что им данный материал также будет полезен. Закончить свою работу я хочу словами : «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».

Список литературы.

1.Алгебра и начало математического анализа 10, 11 кл. учеб. Для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. , и др.

2. История математики в школе:IX-X кл.-М.: просвещение, 1983

3. «Тригонометрические уравнения и неравенства» кн. для учителя-просвещение. 1989.

4., факультативный курс по математике: Решение задач: учебн. пособие для 11 кл. средн шк - просвещение 1991

5. Физика Сборник задач для 10-11 классов-М: Дрофа, 2002г.

6.Математика. Приложение к газете «Первое сентября» №43 2004 г, №17, 2005задач

7. Сборник для подготовки к ЕГЭ по математике 2016г. Профильный уровень

Ресурсы сети интернет.