ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ
04.05.2015 г.
г. Брест
По дисциплине «Практикум по решению математических задач»
Специальность «Физика. Математика» 3 курс, 6 семестр
Составитель: доцент
1. Методы решения планиметрических задач (общая классификация): алгебраические методы; геометрический метод; комбинированный метод.
2. Дополнительные сведения школьного курса планиметрии (теорема Чевы и Минелая. Равновеликость и равносоставленность фигур).
3. Решение треугольников: (Основные теоремы для решения треугольников. Элементы треугольников. Точки пересечения медиан, биссектрис, высот. Окружность девяти точек. Прямая Эйлера).
4. Алгебраические методы решения планиметрических задач: (Метод опорного элемента. Метод вспомогательного параметра. Метод площадей. Векторно-координатный (векторный, координатный) метод).
5. Площади плоских фигур. (Основные и дополнительные формулы нахождения площадей плоских фигур. Использование метода площадей).
6. Общие сведения об изображениях пространственных фигур в школьном курсе геометрии: (Введение (центральное и параллельное проектирование). Теорема Польке-Шварца. Понятие изображения. Виды изображений. Требования к изображениям. Изображение многоугольников и многогранников в параллельной проекции).
7. Методы решения стереометрических задач (стандартные и нестандартные): (Общая классификация методов. Различные примеры применения стандартных методов. Метод разверток при решении задач. Метод динамизации геометрических объектов. Достраивание тетраэдра до параллелепипеда).
8. Построения на изображениях многогранников (позиционные задачи): (Метод следов как основной метод решения задач на построение сечений в школьном курсе стереометрии. Метод вспомогательных сечений (внутреннего проектирования). Комбинированный метод построения сечений. Примеры построения сечений многогранников (позиционные задачи). Построения на изображениях многогранников (метрические задачи)).
9. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью: (Основные понятия. Методы решения задач указанного типа. Решение задач на нахождение расстояния от точки до прямой (от точки до плоскости). Угол между прямой и плоскостью (основные методы решения задач указанного типа)).
10. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между плоскостями, двугранный угол: (Основные понятия (определения понятий скрещивающиеся прямые, угол и расстояние между скрещивающимися прямыми). Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Угол между плоскостями, двугранный угол (основные методы решения задач указанного типа)).
11. Трехгранный угол. Многогранные углы: (Формулы для прямого трехгранного угла. Теоремы для трехгранных углов (пространственные теоремы синусов и косинусов). Решение задач на трехгранные и многогранные углы).
12. Площади поверхностей и объемы многогранников и тел вращения: (Основные и дополнительные формулы для нахождения площадей поверхностей и объемов многогранников. Поэтапно-вычислительный метод решения задач указанного типа. Метод объемов. Векторно-координатный метод как нестандартный метод решения задач на нахождения площадей поверхностей и объемов многогранников. Основные и дополнительные формулы для нахождения площадей поверхностей и объемов тел вращения. Теоремы Гульдина).
13. Решение задач на комбинацию многогранников и тел вращения: (Комбинации с описанными сферами. Комбинации с вписанными сферами. Разные комбинации с многогранниками и круглыми телами).
14. Стереометрические задачи на наибольшее и наименьшее значение: (Использование производной для решения задач на наибольшее и наименьшее значение. Нестандартные методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение (метод разверток, динамизации геометрических объектов)).
15. Логические задачи и методы их решения. Решение олимпиадных задач: (Виды логических задач. Принцип Дирихле и его следствие. Задачи на инварианты. Применение графов для решения логических задач. Матричный метод решения логических задач).
16. Нестандартные методы решения уравнений, неравенств и их систем: (Алгебраические методы (замены, тригонометрические подстановки, мажорант, введение двух и более переменных и т. д.). Геометрические интерпретации (векторный метод). Комбинированный метод).
Доцент
