ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ (2017–2018 уч. г.)

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

10-11 классы

Задача №1.   На уроке физкультуры все ученики 8а класса построились в шеренгу. Оказалось, что мальчики и девочки в ней чередуются. Известно, что ровно 52% учеников 8а класса — мальчики. Найдите количество девочек в 8а классе. Не забудьте обосновать ответ.

(7 баллов)

Задача №2.   ABCDA1B1C1D1 –прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Длина стороны основания см, боковое ребро равно 4см. Паук находится в центре грани

ABB1A1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности параллелепипеда  в вершину  С? 

( 7 баллов)

Задача №3.   В сказочном озере плавает сказочная лилия. Эта лилия за сутки вдвое  увеличивает свои размеры и полностью заполняет озеро за 137 суток. За сколько суток озеро  заполнят 4 такие лилии?

( 7 баллов)

Задача №4.   Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13. 

(7 баллов)

Задача №5.   Найдите все целые решения неравенства:

|x + 3y – 5,5| + |x – 3y| ≤.

(7 баллов)

Ответы к задачам школьного этапа по математике

в 10-11 классах.

Задача № 1.  Решение.  Всего девочек в классе 100 % – 52 % = 48%. Так как мальчики и девочки в шеренге чередуются, то мальчиков будет на одного больше, поэтому  1 ученик класса составляет  52 % – 48 % = 4%. Следовательно,  в классе всего будет  100% : 4% = 25 человек, а девочек  25·0,48 = 12 человек.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ: 12 девочек.

Задача № 2.  Решение. 

  ∆ СКО прямоугольный.

КО = АВ = · =

СК = СВ + КВ = СВ + ВВ1 =

=  · =

СО = 

=   

Ответ:  . 

Задача № 3.  Решение.  Первый случай от второго отделяют только двое первых суток. Потом все одинаково.  Одна лилия полностью заполняет озеро за 137, значит, 4 лилии заполнят озеро на  пару суток раньше, т. е. за 137–2 = =135 суток.

Ответ: 135 суток

Задача № 4.  Решение.  Числа, которые  кратны числу 7, образуют арифметическую прогрессию:  7, 14,21, …, 994.

,  n = = = 142.

Можно сосчитать проще.   Тогда

n= :7 = 994: 7 = 142. 

  Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7.  Sn = =   71071. 

  Итак, в первой тысячи 142 числа кратных 7. Теперь сосчитаем,  сколько из этих чисел  делятся и на число 13. Поскольку 7 и 13 взаимно простые числа, то число будет делиться и на 7 и на 13, если оно делится на их произведение  713 = 91.  Числа кратные 91 записываются формулой 

bn =  91n.  bn 1000,  91n 1000,  n ,  n 10 .  Значит, n = 10. Таким образом, среди чисел кратных 7 ровно 10 делятся и на 13.  Найдём их сумму Sn = =

  Тогда  сумма  натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13, равна  71071– = 66066. 

Ответ:  66066. 

Задача № 5.  Решение.

Пусть (x; y) – решение неравенства. Тогда из условия задачи следует, что |x – 3y| < 1. Так как x и y – целые числа, то x = 3y. Подставим этот результат в исходное неравенство, тогда: |6y – 5,5| ≤   ⇒ |6y – 5,5| < 1 ⇔ –1 < 6y – 5,5 < 1 ⇔ . Таким образом, y = 1; x = 3.

Проверка показывает, что (3; 1) является решением исходного неравенства.

Возможно также «лобовое решение», основанное на раскрытии модулей, но тогда придется рассмотреть четыре случая, поэтому такое решение является очень трудоемким.

Ответ: (3; 1)