1(школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

1(школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

5 класс

№1. Три ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?

№2. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать 2 шара одного цвета?

№3. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на весь путь 1 час 30 минут. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 минут. Сколько времени потратит Сережа на дорогу, если он пойдет пешком и в школу и обратно7

№4. В очереди стоят юра, Миша. Саша и Олег. Юра стоит раньше Миши, но после Олега. Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. В каком порядке стоят мальчики?

№5. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого. Ни французского языка. 75 знали немецкий язык и 83 знали французский язык. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

6 класс

№1. Разглядывая семейный альбом, Ванечка обнаружил, что у него 4 прабабушки и 4 прадедушки. А сколько прабабушек и прадедушек имели его прабабушки и прадедушки все вместе?

№2. Половину натурального числа умножили на 20% от этого же числа и получили 22,5 . Найдите само число.

№3. Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили?

№4.  Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Коля сказал: "Это число 9".
Роман: "Это простое число".

Катя: "Это четное число".
А Наташа сказала, что это число -15.

Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.

№5. От кубика, склеенного из бумаги, отрезали уголок. Этот кубик разрезали по некоторым ребрам, развернули и получили одну из фигурок A - E. Какую?

7 класс

№1. Найти наибольшее натуральное число, которое при делении на 17 дает одинаковые остаток и неполное частное.

№2. Двузначное число п умножили на 2, у результата поменяли цифры и поделили на 2. Получили 92. Каким могло быть число п?

№3. Средний возраст членов гимнастической секции 11 лет. Старосте секции 17 лет, а средний возраст остальных членов секции 10 лет. Сколько детей занимается в секции?

№4. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

№5. До полной готовности пирога осталось поставить его  в духовку ровно на 9 минут. Как нашей кулинарке отсчитать требуемые минуты, если она (чудачка!) не признает иных часов, кроме песочных? В ее распоряжении песочные часы на 4 минуты и на 7 минут( никаких делений в таких часах нет).

8 класс

№1. Решите уравнение 

№2. Найдите а6+3а2в2+в6, если а2+в2=1.

№3. Винни-Пух и Пятачок одновременно пошли друг к другу в гости по одной тропинке. По пути Пух так увлекся сочинением «шумелки», а пятачок счетом ворон, что они не заметили друг друга. Известно, что до встречи Пух шел 3 минуты, а после встречи – 2 минуты (до дома Пятачка). Сколько времени после встречи шел пятачок (до дома Винни-Пуха)?

№4. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников в четверо больше, чем одноклассниц. А у жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик7

№5. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом еще пополам, а затем разрезали в каком-то месте. Какова может быть длина веревки, если известно, что какие-то два из получившихся кусков имеют длины 9м и4м?

9 класс

№1. Чему равны значения p и q, если уравнение х2 + pх + q = 0 имеет корни 4p и ?

№2. Сколько натуральных решений имеет неравенство х + ≤ 6 ?

№3. Сколько квадратных сантиметров занимает рамка, рассчитанная на фотографию 9 х 13 см, если ее ширина равна 2 см?

№4. Решите уравнение

№5. Равнобокая трапеция АВСD разбивается диагональю АС на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

10 класс

№1. Пункты А и В расположены на прямолинейной магистрали, на расстоянии 9 км друг от друга. Из пункта А в пункт В выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В в том же направлении с постоянным ускорением         32 км/ч2  выходит мотоцикл. Найдите наибольшее расстояние между автомашиной и мтоциклом в течение первых двух часов.

№2. Составьте две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из 4 членов; при этом, если сложить одноименные члены этих прогрессий, то получатся числа 27, 27, 39,87.

№3. Решите уравнение: +=7.

№4. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы исходного треугольника.

№5. Решите уравнение  в действительных числах: х6+х5+х4+х3+х2+х+1=0

11 класс

№1. Разделить фигуру на две одинаковых

№2. Найдите такие два числа, что при умножении первого на 2 получится квадрат второго, а при умножении первого на 3 — куб второго.

№3. Найти минимальное значение функции f(x) = (x + 1/x)4  + (x2 + 1/x 2)4 + … + (x10 +1/x10)4

№4. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключенный внутри треугольника равен 3 см, а вне треугольника (до пересечения с продолжением другого катета) 9 см. Найти длину гипотенузы.

№5. При каком значении параметра а данное уравнение имеет единственное решение:

(11х – 40)2 – 8 = 32а