Научно – практическая конференция учащихся «Удивительный мир математики» «Теорема Пифагора»
(1сл.) МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ Р. П.ПУШКИНО СОВЕТСКОГО РАЙОНА САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Научно – практическая конференция учащихся
«Удивительный мир математики»
«Теорема Пифагора»
Подготовили ученицы 8-бкласса Баймухамбетова Татьяна,
Славина Елена
Руководитель:
2013 год
Содержание страницы
1.Цель ______________________________ 3
2. Вступление –
Историческая справка _______________ 3- 4
3.Основная часть –
Теорема Пифагора__________________ 4-8
4.Заключение __
Практическое применение и значимость теоремы.__ 9-11
5.Полезные ссылки _____________________________ 11
6.Приложения
Цель проекта.
- Исследование различных доказательств и обобщений теоремы Пифагора, а так же ее применение в разных областях науки и деятельности человека, исследование пифагоровых троек.
Задачи исследования:
- С помощью дополнительной литературы и Интернет сети познакомится с открытиями и жизнью Пифагора и его последователей;
- Используя различные научные источники показать уникальность открытия Пифагора, изучить различные способы доказательства теоремы Пифагора и ее обобщения;
- Определить значение теоремы Пифагора для развития математики и практики.
Объект исследования. Теорема Пифагора, её практическое применение и различные пути доказательств, пифагоровы тройки.
1.Вступление
Пифагор Самосский (3сл.)
Древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель пифагоризма.
На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая значимость.
Достоверные биографические сведения о Пифагоре в основном сводится к нескольким анекдотам. Неясности начинаются уже с вопроса о его происхождении. Некоторые говорили, что он был сыном бога Аполлона. Но в научном мире придерживаются версии, что он родился около 570г. до н. э. на острове Самос в семье богатого купца Мнесарха. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправился в Милет, где встретился с другим великим ученым – Фалесом, который посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. (4сл.)
Пифагор также побывал в самосской колонии, где изучил язык и религию египтян. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Многие из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас. Он внес в математику два величайших за всю ее историю вклада. (5сл).
Пифагор ввел в математику доказательство. Это было его величайшим достижением. Метод доказательства настолько пронизывает сейчас всю математику, что кажется подразумевающимся сам собой, и нам трудно представить себе период, когда этого метода еще не было. (6сл.)
Второй выдающийся вклад в математику Пифагора связан с исключительно важной проблемой. Это было открытие того факта, что целых чисел 1,2,3... недостаточно для математических построений даже в таких примитивных формах, которые были известны в то время. Одноединственное математическое противоречие мгновенно разрушило дискретную философию, математику Пифагора. Но, не в пример другим ученым, он в конце концов признал свое поражение - после длительной отчаянной борьбы против открытия, которое отрицало символ его веры. (7сл.)
Свои последнии дни Пифагор провел в изгнании и погиб в ночной схватке со своими противниками на улицах города Метапонта. Его ученики, опасаясь преследования, расселились по всей Греции и основали школы, в которых преподавали математику. Пифагорийская школа придала геометрии научный характер. Пифагорейцы разработали теорию параллельных прямых, доказали теорему о сумме углов в треугольнике, четырехугольнике и правильных многоугольниках.
2.Основная часть
(8сл.) Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им "теорема Пифагора". История Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пифагора. В настоящее время установлено, что теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. В Китае она была известна за 500 лет до Пифагора. Знали ее и в Древней Индии. Одно из древнейших доказательств теоремы дано, как полагает Прокл, Евклидом и изложено им в "Началах". Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. (9сл.)
Не найти никакой другой теоремы, заслуживший столько всевозможных сравнений. У математиков арабского Востока она получила название " теоремы невесты". У Евклида она называлась "теоремой Нимфы" за сходство чертежа с бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. (10сл.)
В средневековых университетах теоремой Пифагора заканчивалось высшее образование, а для получении степени магистра математики полагалось представлять оригинальное доказательство теоремы Пифагора. Таким образом, в то время накопилось более ста доказательств этой теоремы. А в наше время известно уже более 500 видов ее доказательств.
Открытие теоремы Пифагора связано с разного рода легендами. Одна из них говорит, что Пифагор, обрадованный своим открытием, в благодарность принес богам в жертву 100 быков. На данную тему А. Шамиссо написал стихотворение: (11сл).
Теорема Пифагора
- Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Если дан нам треугольник.
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
Различные формулировки теоремы Пифагора
У Евклида (дословный перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".
Латинский перевод :
"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".
Перевод с немецкого (около 1400 г.) :
"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
В первом русском переводе евклидовых "Начал“:
"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны,
противолежащей прямому углу, равен сумме
квадратов из сторон, содержащих прямой угол"
12сл.
Доказательство теоремы Пифагора в современном школьном курсе по учебнику
- ( а+в)І= 4 · 0.5ав+сІ аІ+2ав+вІ=2ав+сІ сІ = аІ+вІ
(13сл.)
Простейший случай - равнобедренный прямоугольный треугольник. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику, чтобы убедиться в справедливости теоремы (14сл.)
Доказательство 9 века н. э.
На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. (15сл.)
Доказательство, основанное на теории подобия.
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. (16сл.)
Метод достроения
Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах.(17сл).
Доказательство Эйнштейна
Преимуществом доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. (18сл.)
Доказательство Нассир-эд-Динома (1594 г.) (19сл.)
Доказательство Гофмана
Четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим теорему Пифагора (20сл.)
Доказательство Гарфилда
Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5(а+в)(а+в),во втором ав+0,5сІ. Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора (21сл.)
Алгебраическое доказательство индийского математика Бхаскари
Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! И на самом деле мы видим, что площадь большего квадрата со стороной с, равна сІ, но он составлен из внутреннего квадрата, площадь которого аІ -2ав+вІ и четырех равных треугольников с площадью 2ав. Очевидна теорема Пифагора.
(22сл)
Другие доказательства (около 500) (23сл.)
Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Некоторые Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (24сл.) Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.
3. Заключение (25сл.)
Теорема Пифагора – это главная и самая замечательная теорема геометрии, прежде всего обычная «плоская» теорема Пифагора, так как пространственное обобщение получается на ее основе. Теорема Пифагора замечательна уже тем, что она вовсе не очевидна. Значение теоремы Пифагора состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно выводить все теоремы, касающиеся длин отрезков и величин углов на плоскости и в пространстве. Из теоремы Пифагора выводится теорема косинусов, вернее, обобщенная теорема Пифагора, а из нее можно вывести теорему синусов, признаки равенства треугольников и т. д. Можно сказать, что теорема Пифагора выражает основной закон связи между расстояниями на плоскости и в пространстве. Важнейшие обобщения в геометрии связаны с обобщением теоремы Пифагора. Теорему Пифагора можно использовать для построения отрезков с иррациональными длинами. Если построить равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, то длина его гипотенузы равна корню из 2. Так же можно получить отрезок, длина которого равна корню из 3. Этим же способом можно получить отрезки длины которых иррациональные числа, продолжив построение этой фигуры. (26)
Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Можно даже не пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой, теорема применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре, а также в астрономии и так далее.
Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.
Мы имеем теорему Пифагора для диагонали прямоугольника dІ = aІ + bІ (27сл).
Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. (28сл.)
Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды).
Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата (29сл.)
Часто теорему Пифагора можно встретить в готической и романской архитектуре (30сл).
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора (31сл.) Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины.
Знания теоремы и его приложений позволяет нам применить их при решении задач.
Работа над этим проектом позволила мне расширить свои знания в области геометрии и алгебры. (слайд 32)
К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.
Полезные ссылки:
1) , Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва, Просвещение,1969г.
2) Г. Глейзер, Учебно-методическая газета Математика, №4 2005г.
3) Г. Остренкова, Учебно-методическая газета Математика, №24 2001г.
4) «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение,1987г.
5) Геометрические миниатюры, Москва, Просвещение,1990г. 6) Домашняя математика, Москва, Просвещение,1994г.
7) Интернет-источники:
http://bankreferatov. ru/
http://kvant. ru/
http://th-pif. narod. ru/formul. html
http://project.1september. ru/work. php? id=590578
http://presentaci. ru/prezentacii-po-geometrii/963-teorema-pifagora. html
