Математическое моделирование полёта ракеты

МБОУ «Лицей №1» г. Перми

математическое моделирование

Математическое моделирование полёта ракеты

  Выполнил: 

, 11 класс,

Научный руководитель: 

, преподаватель физики

Пермь, 2015.

Оглавление

Введение        3

Глава 1. Постановка задачи        5

§1. Содержательная постановка        5

§2. Концептуальная постановка задачи        5

§3. Математическая постановка задачи        6

Глава 2. Решение задач        8

§1. Выбор метода решения        8

§2. Нахождение параметров        8

Коэффициент аэродинамического сопротивления        8

Массы        10

Расстояния        11

Линейная скорость горения топлива        12

§3. Математическая модель        13

Глава 3. Практическая часть        19

Правила безопасности        22

Заключение        23

Список литературы        24

  Annotation

In this teaching and research work was created a mathematical model of the missile flight which used in amateur rocket modeling. At creation of mathematical model considered the combustion process of fuel, and the influence of strength of resistance of the medium.

Burning of fuel assumed to be uniform. To determine the traction force of the rocket engine was used Mendeleev-Clapeyron equation and equation of chemical reaction of fuel combustion.

Developed a method of determining burning rate of fuel depending on the diameter of the cross section of the engine. Experiment was conducted to determine the necessary constants and to verify the adequacy of the hypothesis of uniformity fuel combustion.

To determine the aerodynamic drag coefficient was constructed wind tunnel and a smaller model of researched missile. Was developed and applied method of determining the coefficient of resistance by deflection of the suspended model in the generated airstream.

In addition, was designed method of determining the lift height of the object above the ground and built a special measuring instrument for this purpose.

The mathematical model used Newton's second law to describe the missile motion as a material point of variable mass, given the resistance force which depends on the velocity. After finding the task parameters calculations were carried out on the basis of the created mathematical model using the Euler method to solve the resulting differential equation. The problem is solved in the medium MS Excel.

Were calculated speed of the rocket, acceleration, lift height, excess pressure, tractive force and air resistance, the mass of unburned fuel on the time.

Введение

Ракеты стали неотъемлемой частью современного человечества. Ракеты заняли свою нишу в вооружении многих стран: от гранатомётов и неуправляемых ракет до систем противовоздушной/противоракетной обороны и межконтинентальных баллистических ракет, несмотря на то, что раньше развитие ракетных технологий шло исключительно для военных нужд, они нашли применение и в мирных целях, таких как доставка грузов на Международную Космическую Станцию, спутников на орбиты и даже для возможной колонизации Луны и Марса в будущем.

Рисунок 1 Ракета-носитель "Союз" перед запуском

Цель работы

Целью этой работы является создание математической модели процессов, связанных с полётом одноступенчатой твердотопливной ракеты, и проверка её на опыте.

Задачи

Для достижения поставленной цели было необходимо решить ряд сопутствующих задач:

Расчёт коэффициента аэродинамического сопротивления; Расчёт расхода топлива; Составить уравнения, которые лягут в основу математической модели; Придумать способ регистрации высоты ракеты над стартовой площадкой в определённые моменты времени.

Актуальность

Решение поставленных задач полезно для закрепления изученного на уроках материала а также для общего и творческого развития. Кроме того, полученная математическая модель полета ракеты, рассмотренная в данной работе, может быть полезной в ракето-моделизме: возможно будет решить проблему прогнозирования траектории и времени полёта любительских ракет при заданных параметрах системы. Тем не менее, на применимость модели к реальным случаям оказывают влияние такие факторы как балансировка экспериментального образца, точность исполнения элементов конструкции ракеты, таких как сопло и корпус.

Глава 1. Постановка задачи

§1. Содержательная постановка

Ракету приводят в движение, активировав запал, который инициирует воспламенение топлива в камере сгорания. Ракетное топливо, сгорая превращается в газ, который выходит под давлением из сопла и толкает ракету. В результате чего ракета начинает взлёт.

Примерно через 3-4 секунды запас топлива истощается. После этого начинается фаза свободного полёта: ракета по инерции продолжает набирать высоту. Вскоре ракета достигает наивысшей точки своей траектории и начинает падать.

Полёт ракеты рассматривается только от взлёта до наивысшей точки её траектории.

  §2. Концептуальная постановка задачи

Следует рассмотреть составные части ракеты, а также внешние факторы,  влияющие на полёт. Схема любительской ракеты приведена ниже:

Рисунок 2 Схема ракеты

Такая конструкция была выбрана для ракеты, потому что в этом случае она  удобна для запуска из пусковой установки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Также считаю важным отметить, что данная конструкция внешне очень напоминает американские ракеты  серии Standard (ЗУР СЕМЕЙСТВА "STANDARD").

В конструкции предусмотрена возможность вынимать из корпуса ракеты её двигатель, т. к. корпус предназначен для многоразового использования, в то время как двигатель повторному использованию не подлежит в силу его выгорания изнутри.

 

Рисунок 3 Внешний вид готовой ракеты и вынятый ракетный двигатель

Если обратить внимание на внешние факторы, то их можно заметить только два: аэродинамическое сопротивление воздуха и притяжение Земли.

  §3. Математическая постановка задачи

Параметры задачи:

Атмосфера: т. к. высота подъёма ракеты небольшая, будем считать атмосферу однородной, , , Ускорение свободного падения: по той же причине что и в первом пункте, ускорение свободного падения можно считать константой: ; Стартовая масса ракеты: ; Масса топлива: ; Линейная скорость горения топлива: ; Площадь поперечного сечения ракеты: ; Внутренний объём пустой камеры сгорания: ; Коэффициент аэродинамического сопротивления: ; Плотность топлива: ; Средняя молярная масса продуктов сгорания: ; Температура горения топлива:

То, как были найдены некоторые параметры, рассмотрено ниже, в пункте «нахождение параметров» в следующей главе.

Также для составления математической модели необходимо было обратиться к следующим уравнениям и законам:

Уравнение силы аэродинамического сопротивления:

,

где С – коэффициент аэродинамического сопротивления, с – плотность воздуха, U – скорость движения, S – площадь поперечного сечения движущегося тела, эта формула нужна, чтобы найти силу сопротивления воздуха движению ракеты;

Уравнение Менделеева-Клайперона:

,

где P –  давление газа, V – объём, занимаемый газом, н – молярное количество газа, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура газа, эта формула будет нужна, чтобы найти давление газов сгорающего топлива в камере сгорания;

Формула, связывающая давление и силу:

,

где F – сила, P – давление, S – площадь, эта формула понадобится для нахождения силы, действующей на молекулы газа, вылетающего через сопло из двигателя ракеты;

Второй закон Ньютона:

,

где m – масса, – ускорение, P – импульс, t – время, первая формулировка нужна для нахождения ускорения самой ракеты, а вторая формулировка понадобится для нахождения импульса истекающего из сопла газа и, собственно, импульса сообщаемого этим газом ракете;

Закон сохранения импульса; Теоретическая формула горения карамельного топлива:
C6H14O6 + 3.345 KNO3 -> 1.87 CO2 + 2.49 CO + 4.828 H2O + 2.145 H2 + 1.672 N2 + 1.644 K2CO3 + 0.057 KOH (Сорбитовая карамель).

Глава 2. Решение задач

§1. Выбор метода решения

Математическая модель была составлена методом Эйлера в среде Microsoft Excel. Также для проведения опыта с запуском ракеты и опыта с отдельным тестовым запуском двигателя и произведения необходимых вычислений нужно было следующее оборудование:

Самодельная аэродинамическая труба и уменьшенный макет ракеты Самодельные весы 2 смартфона для видеозаписи Ракета и её сменные двигатели Пусковая установка Самодельные элекрозапалы Выпрямитель Провод Кнопка Самодельный дальномер

Кроме того был использован видеоредатор MPEG Video Wizard DVD 5.0

§2. Нахождение параметров

Коэффициент аэродинамического сопротивления

Для определения аэродинамического сопротивления была сконструирована аэродинамическая труба

Рисунок 4 Аэродинамическая труба

и уменьшенная копия ракеты с сохранением пропорций и из того-же материала, что сама ракета - коэффициент аэродинамического сопротивления зависит только от формы тела и свойств поверхности.

Рисунок 5 Соотношение уменьшенной копии и оригинала

Для нахождения коэффициента требовалось найти силу сопротивления воздуха, из которой далее можно было выразить сам коэффициент. Для нахождения этой силы было необходимо подвесить уменьшенный макет корпуса так, как это указано на рисунке 6, это было нужно для того, чтобы, несмотря на силу сопротивления потока воздуха, копия ракеты оставалась в горизонтальном положении, и чтобы воздух действовал лишь на фронтальную часть ракеты.

Рисунок 6

Само решение задачи по нахождению коэффициента аэродинамического сопротивления выглядит следующим образом:

Для начала находим моменты сил натяжения нитей и выражаем одну из них через другую:

1)

 

Затем пишем Второй закон Ньютона и его проекции на оси координат, после чего вместо одной силы натяжения подставляем другую и выражаем её:

2)

 

 

 

 

Далее приравниваем полученные выражения:

И выражаем силу аэродинамического сопротивления:

Вместо силы аэродинамического сопротивления подставляем её функцию:

Перекидываем в правую сторону всё кроме искомого коэффициента и получаем формулу для его расчёта:

Массы

Массы корпуса ракеты, её двигателя и топлива были найдены с помощью самодельных весов, т. к. нормальных у меня в наличии не было. Также у меня не было в наличии специальных грузиков, поэтому в качестве груза использовалась вода (зная её плотность и объём можно было найти её массу и, соответственно, массу взвешиваемого объекта) и монетки.

Рисунок 7 Самодельные весы

Расстояния

Для проведения опыта было необходимо разработать способ, с помощью которого можно было хотя бы грубо определять высоту, на которую поднялась ракета, в определённых интервалах времени.

Для нахождения высоты подъёма ракеты в момент времени понадобились две камеры и самодельный дальномер.

Дальномер представляет из себя подвижную основу с одной степенью свободы, на которую установлены два прицела, один из которых неподвижен и направлен перпендикулярно расстоянию между ними, а второй может двигаться в одной степени свободы, также эти прицелы расположены на фиксированном расстоянии друг от друга на подвижной основе. Для каждой степени свободы есть своя градусная шкала. Для нахождения расстояния до объекта нужно направить неподвижный прицел на данный объект, потом, не сбивая с цели неподвижный прицел, нацелить подвижный на объект. Потом надо замерить угол у подвижного прицела. Зная расстояние меду прицелами и угол у подвижного прицела можно найти расстояние до цели.

Рисунок 8 Дальномер

Также с помощью дальномера может быть найден угол, под которым из точки слежения должна была бы быть видна наивысшая точка траектории полёта ракеты.

Линейная скорость горения топлива

Была выдвинута гипотеза:

скорость горения топлива является константой и не зависит от формы поверхности горения топлива.

Для того, чтобы проверить это предположение, достаточно провести два несложных опыта: в первом опыте требуется заполнить цилиндрическую трубку известной длины топливом и измерить время горения топлива. При этом стоит отметить, что внутренний радиус трубки должен быть постоянным.

Во втором опыте проводились те же измерения, только вместо трубки была использована воронка, с переменным радиусом. Если в первом и во втором опыте скорость горения топлива окажется одинаковой, это будет значить, что и во втором опыте скорость горения тоже является константой, а это значит, что на скорость горения не влияет форма топливной шашки, и горение направлено перпендикулярно сгорающей поверхности.

В первом опыте (с трубкой) была найдена сама скорость горения.

§3. Математическая модель

Так как вычисления в данной математической модели, ввиду того что она выполнена методом Эйлера, происходят пошагово с интервалом времени Дt, обозначим номер шага как n ().

В математической модели были задействованы следующие формулы:

Формула расстояния от горящей поверхности топлива до стенки камеры сгорания:

,

где – расстояние на  n шаге, – расстояние начальное, – линейная скорость горения топлива;

Формула радиуса внутренней цилиндрической полости:

,

где – радиус внутренний начальный. На этот и предыдущий пункты действует условие, что не может быть больше , и тоже не может превышать , в противном случае они соответственно равны, также эти переменные не могут быть отрицательными;

Формула объёма внутренней цилиндрической полости:

,

где L – длина камеры сгорания. Здесь следует заметить, что, благодаря вышеупомянутому условию, наложенному на предыдущие 2 пункта, объём полости не сможет превысить объём самой камеры сгорания;

Формула объёма неизрасходованного топлива:

,

где V – это объём камеры сгорания;

Формула массы неизрасходованного топлива:

,

где – плотность топлива;

Формула изменения массы топлива на 1 шаге:

;

Формула массы всей ракеты:

,

где –  масса ракеты без топлива;

Формула количества выделившегося газа за 1 шаг:

,

где – это средняя молярная масса газа;

Формула среднего избыточного давления в камере сгорания на энном шаге:

,

где R – универсальная газовая постоянная, а Т – температура горения. Здесь в формуле, выраженной из формулы Менделеева-Клайперона, в знаменателе задействован коэффициент 2, так как на шаге объём внутренней полости является константой, и изменяются только количества газа и давление, то их зависимость будет являться линейной, при этом из уменьшения количества газа будет следовать уменьшение давления, а значит чтобы найти среднее давление можно максимальное значение давления на шаге (в момент, пока газ ещё не начал выходить) поделить на 2.

Формула силы выталкивания газов через сопло (которая также является силой тяги):

;

Формула импульса, сообщаемого ракете двигателем на энном шаге:

;

Формула силы аэродинамического сопротивления:

,

где C – коэффициент аэродинамического сопротивления, – плотность воздуха, S – площадь поперечного сечения ракеты, – скорость движения ракеты;

Формула равнодействующей силы:

,

где – ускорение свободного падения;

Формула ускорения ракеты:

;

Формула скорости ракеты:

;

Формула высоты ракеты над стартовой площадкой:

Также, использовав приведённые в математической постановке параметры, можно было получить графики, давайте рассмотрим на них как производились расчёты:

В самом начале производился расчёт расстояний от поверхности горения до внутренней поверхности стенок корпуса двигателя, а также радиусов образовавшейся цилиндрической полости в начале каждого шага мат. модели, исходя из известной скорости горения топлива:

Изменение резко прекращается, когда топливо резко заканчивается, так как в этой математической модели рассматривается идеальная ситуация: топливо горит с одинаковой скоростью, и поверхность горения топлива достигает стенок камеры сгорания одновременно, следовательно, горение резко обрывается.

Зная всё это и плотность топлива высчитывалось изменение массы топлива на каждом шаге а затем и зависимости масс топлива и ракеты от времени:

Зная среднюю молярную массу газа и изменение массы топлива на каждом шаге высчитывалось, сколько газа выработалось за каждый шаг математической модели:

Исходя из изменения размера внутренней полости и количества выделившегося газа, высчитывалось среднее избыточное давление в камере сгорания за 1 шаг:

Зная давление и площадь поперечного сечения отверстия сопла, высчитывалась сила тяги. Далее высчитывались сила аэродинамического сопротивления и равнодействующая сила:

Зная равнодействующую силу и массу ракеты на каждом шаге, высчитывалось ускорение, скорость и высота над стартовой площадкой:

Следует отметить, что в математической модели не учитывался ветер, а также считалось, что отсутствует смещение центра масс с расчетного (геометрический эксцентриситет), несовпадение центра давления с расчетным (аэродинамический эксцентриситет), а также отклонение вектора тяги от оси ракеты (эксцентриситет тяги).

Глава 3. Практическая часть

Рисунок 9 Испытательный запуск.

Были выполнены только 2 испытательных запуска, целью которых был только сам запуск. Тем не менее были выполнены все необходимые подготовительные работы для полноценных испытаний твердотопливного ракетного двигателя. Например были подготовлены корпуса ракет в количестве 6-ти штук, была сделана пусковая установка с расчётом на многоразовое использование со сменными транспортно-пусковыми контейнерами, и твердотопливные ракетные двигатели в количестве 2-ух штук. Также были подготовлены электрозапалы в количестве 12-ти штук, длинный провод около 50-ти метров, пусковая кнопка и выпрямитель в качестве источника тока во избежание короткого замыкания в электрической сети дома.

 

Рисунок 10 Пусковая кнопка

 

Рисунок 11 Выпрямитель

 

Рисунок 12 Электрозапал

Рисунок 13 Пусковая установка (вид с боку)

 

Рисунок 14 Пусковая установка (вид сверху с ребра)

Правила безопасности

При работе с такими пожароопасными веществами как карамельное топливо необходимо соблюдать следующие правила (Правила техники безопасности):

При работе надо быть готовым к вспышке в любой момент, рекомендуется работать в защитных очках и рукавицах из хлопка или брезента; Любое нагревание проводить только с контролем температуры, никогда не использовать открытый огонь; Никогда не наклоняться над составом при его изготовлении, особенно нагревании; Все испытания двигателей и запуски ракет необходимо производить с учётом высокой вероятности взрыва и непредвиденного направления полета; Никогда не подходить к несработавшему двигателю раньше 5 минут.

Заключение

В ходе выполнения работы была создана математическая модель, которая позволяет описать полёт одноступенчатой твердотопливной ракеты в зависимости от её параметров. Полученная математическая модель может быть полезной в ракетомоделизме, например для расчёта тяги двигателя по времени.

Перспективы развития: можно дополнить математическую модель для моделирования полёта двухступенчатой ракеты. Также можно добавить увеличение диаметра отверстия сопла по времени из-за разрушения его стенок от резкого нагревания.

Список литературы

ЗУР СЕМЕЙСТВА "STANDARD". (б. д.). Получено из Вестник ПВО: http://pvo. guns. ru/other/usa/standard/index. htm#2

Правила техники безопасности. (б. д.). Получено из Ракетная мастерская: http://www. airbase. ru/modelling/rockets/safety/safety. html

Сорбитовая карамель. (б. д.). Получено из Serge77 - Моя ракетная мастерская: http:///cansorb/cansorb. htm