Интеллектуальная игра
«Математические софизмы»
Игра проводится следующим образом: участвуют 3 команды по 5 человек, набираемых из своей или параллельной группы, из которых выбирается капитан. На сцене располагаются 3 стола - стол лидера (в центре) и игровые (резервные) - по обе стороны от лидера. В глубине сцены - ведущий. Он руководитель мероприятия: объявляет начало и конец каждого раунда, оценивает ответы, комментирует их. По жребию члены одной из команд рассаживаются за столом лидера. Две другие команды размещаются за резервными столами. Соревнование состоит из нескольких раундов. В каждом раунде знатокам предлагается решенный софизм. После 2-х минутного обдумывания играющая команда дает ответ. Одновременно с играющей командой над вопросом работают и резервные команды. Заслушав ответ играющей команды, ведущий просит резервные команды высказать своё мнение. Окончательным ответом знатоков считается последняя из поступивших версий. Объявляется правильный ответ и выясняется победитель данного раунда. Если в раунде играющая команда ответила правильно, то она остается за столом лидера. В противном случае, ей придется уступить свое место правильно ответившей команде. Если все три команды правильной версии не дали, то место за столом занимает команда №2 по жеребьевке. Через 2-3 раунда проводиться «пауза» - музыкальный номер, который готовят студенты, не принимающие участия в викторине. В конце встречи ведущий объявляет общий итог и выделяет наиболее отличившуюся команду. Ей вручается приз.
Вступительное слово.
Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики — от простой арифметики до современной теоретико-множественной топологии — есть свои псевдодоказательства, свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики.
Обычно математические софизмы доказывают равенство неравных чисел или арифметических выражений. Один из самых простых образцов – сравнение пятерки и единицы. Если от 5 отнять 3, то получится 2 (5-3=2). При вычитании 3 из 1 получается -2 (1-3=-2). При возведении обоих полученных чисел в квадрат получаем одинаковый результат (22=4 и (-2)2 =4). Таким образом, первоисточники этих операций равны, 5=1.
Рождаются математические задачи-софизмы чаще всего благодаря преобразованию исходных чисел (например – возведению в квадрат). В итоге получается, что результаты этих преобразований равны, из чего делается вывод о равенстве исходных данных.
Существует несколько видов математических софизмов: геометрические, логические, арифметические и алгебраические.
Геометрические софизмы. Геометрические софизмы построены на ошибках, связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Задания:
1) «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».
Пусть а - длина спички и b - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2- ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
Ошибка: Ошибка заключается в том, что в выражении b(b-a-c) = - c(b-a-c) производится деление на 0.
2) «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра».
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Ошибка: Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т. е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.
Логические софизмы.
3) " 4 р. = 40 000 к." Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к.
Ошибка: В этом софизме возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.
4) «Один рубль не равен ста копейкам».
Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам:
1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек.
Перемножая эти равенства почленно, получим
10 рублей = 100 000 копеек
и разделив последнее равенство на 10, получим, что
1 рубль = 10 000 копеек
Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
5) "5=6". Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель: 5·(7+2-9)=6·(7+2-9). Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель (7+2-9), получим, что 5=6.
Ошибка: Она допущена при делении верного равенства 5·(7+2-9)=6·(7+2-9) на число 7+2-9, равное нулю. Этого нельзя делать, так как любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля.
Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Примером более тонкого математического софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число а равно меньшему числу b.
Начнем с равенства: а = b + c. Умножив обе его части на a - b, получим:
аІ - аb = аb + аc - bІ - bс. Перенесем ас в левую часть: аІ - аb - аc = аb - bІ - bс и разложим на множители: а(а - b - c) = b(а - b - c). Разделив обе части равенства на а - b - c, найдем а = b. Что и требовалось доказать.
6) «Уравнение не имеет корней».
Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка?
Ошибка: Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.
7) «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой».
Решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х/2 (2) Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6.
Ошибка: Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: Х+2у=6, 9 Х+2у=8. В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т. е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
8) «Отрицательное число больше положительного».
Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-c и - а/c. Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.
Ошибка: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный.
9) «Нуль больше любого числа».
Если число а отрицательное, то утверждение очевидно. Пусть а — сколь угодно большое положительное число. Ясно, что а - 1 < а. Умножим обе части неравенства почленно на - а, получим: - а2 + а < - а2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства по а2, получим: - а2 + а + а2 < - а2 + а2, то есть а<0.
Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число меньше нуля.
Ошибка: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный.
10) «Дважды два - пять!»
Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4*(1:1)=5*(1:1) или (2*2)*(1:1)=5*(1:1)
Так как 1:1=1, то сократим и получим 2*2=5. Где ошибка?
Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4*(1:1).
11) «Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска».
Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:
a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем: a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:
a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т. е. (a – v) = (b – v),
и, значит, a = b.
Ошибка: (a – v)2 = (b – v)2, следует раскрывать │a – v│ =│b – v│.
12) «Дважды два равно пяти».
Имеем равенство: 16 - 36 = 25 - 45 Прибавим к левой и правой части 81/4: 16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4.
Преобразуем выражение: 4*4 - 2*4*9/2 + (9/2)*(9/2) = 5*5 - 2*5*9/2 + (9/2)*(9/2). Теперь можно заметить, что в левой и правой части последнего выражения (3) записаны произведения вида: a2 -2ab+b2, то есть, квадрат разности: (a-b)2.
В нашем случае слева a=4, b=9/2, а справа a=5, b=9/2. Поэтому перепишем выражение (3) в виде квадратов разности:
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2 (4). А, следовательно, 4 - 9/2 = 5 - 9/2 (5).
И наконец, получаем долгожданное равенство: 4 = 5 или, если угодно: 2*2 = 5.
Ошибка: В преобразованиях, разумеется, закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.
13) «Куда делся рубль?»
Три человека заплатили за обед 30 руб. (по 10 р.). После их ухода хозяйка кафе обнаружила, что их обед стоит не 30 руб., а 25, и отправила мальчика с 5 рублями вдогонку. Каждый из путников взял себе по рублю, а 2 рубля они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10, а по 9 руб. Их было трое: 3х9=27, и еще два рубля у мальчика: 27+2=29. Куда делся рубль?
Ошибка скрыта в вычислениях, точнее в их последовательности (прибавлять 2 к 27 не верно, если разобраться). Правильно считать так: 27 рублей получила за обед хозяйка кафе с мальчиком (25 и 2 соответственно), 3 рубля получили путешественники. Итого: 25+2+3=30.
