Вписанные и описанные окружности.
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны быть разделены на группы. Заранее подготовлены фигуры из цветной бумаги и таблицы свойств четырехугольников. Цели урока: развитие логического мышления, умение сравнивать и анализировать полученные результаты исследования, обобщать и делать выводы.
Задачи урока:
Достижение предметных планируемых результатов: обеспечение глубокого понимания свойств изучаемых объектов; формирование умения давать сравнительные характеристики изучаемых объектов; овладение навыками презентации результатов своей деятельности; умение обрабатывать информацию и представлять ее в различных видах: словесный, табличный.
Достижение метапредметных планируемых результатов: ставить учебные цели и задачи; выбирать эффективный способ решения поставленных задач; оценивать правильность выполнения учебных задач; применять условные знаки, модели, схемы для решения и оформления поставленных задач; работать в группе для решения поставленных учебных задач; использовать устную и письменную речь для аргументированного отстаивания своей точки зрения, своих выводов и умозаключений; владеть первичными навыками учебно-исследовательской деятельности.
Достижение личностных планируемых результатов: мотивация на обучение и способность к выстраиванию собственной образовательной траектории; обучение навыкам коммуникативной компетентности.
Тип урока: исследовательская практическая работа «Выяснение условия построения описанной вокруг многоугольника и вписанной в многоугольник окружности».
Ход урока:
I. Организационный момент
Приветствие. Сообщение темы урока. Постановка цели урока.
II. Исследовательская работа в группах
Класс делится на 4 группы. Каждая группа получает задание. Группы 1 и 2 получают задание: выяснить, в какие треугольники и четырехугольники можно вписать окружность. Группы 3 и 4: выяснить, около каких треугольников и четырехугольников можно описать окружность.
Времени на исследование дается 30 минут, затем каждая группа рассказывает о полученных результатах и заполняет общую таблицу.
В процессе исследования у учащихся возникает много вопросов: что значит, окружность описана около многоугольника (вписана в многоугольник)?; при каком условии это возможно?; как построить такую окружность?
Во время работы каждая группа получает заготовки различных фигур: треугольники (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные), четырехугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция вырезанные из цветной бумаги. Если есть возможность использовать компьютер, то при помощи «автофигур» учащиеся могут смоделировать ситуацию и, распечатав получившийся рисунок, произвести практические исследования.
Ответственный группы помогает выдвинуть гипотезу и распределяет работу в группе таким образом, чтобы каждый участник получил задание и участвовал в исследовании, один участник группы фиксирует полученные результаты. В процессе практической деятельности учащиеся 1 и 2 группы пробуют описать окружность вокруг каждого предложенного многоугольника, учащиеся 3 и 4 группы пробуют вписать окружность в предложенные многоугольники. Каждая группа выдвигает гипотезу и ставит перед собой ряд задач. Итогом работы группы является заполненная таблица и вывод о проделанной работе и презентация своего учебного исследования.
В состав группы должны входить сильные, средние и слабо успевающие по математике учащиеся. Группа получает задание, набор фигур, планшет и итоговую таблицу.
Группы могут для исследования использовать программу «Живая математика», позволяющую моделировать различные комбинации окружности и треугольника или четырехугольника.
Если исследование в группе зашло в тупик, учитель может оказать консультативную помощь.
Группа 1 (6 учащихся)
Гипотеза – мы думаем, что около остроугольного и прямоугольного треугольника, прямоугольника, квадрата можно описать окружность. Вокруг остальных фигур описать окружность невозможно.
Задачи
Провести практическую работу с готовыми многоугольниками. Найти ответы на вопросы: что значит окружность описана около многоугольника?; при каком условии это возможно?; как построить такую окружность? Проверить полученные выводы по материалу учебника. Заполнить итоговую таблицу.Рисунки, полученные в результате практической работы группы:
Квадрат Прямоугольник Треугольник
Прямоугольный треугольник Равнобедренная трапеция Ромб
Параллелограмм Прямоугольная трапеция Тупоугольный треугольник
Сравнение свойств четырехугольников
Свойства | Квадрат | Прямоугольник | Параллелограмм | Ромб | Равнобедренная трапеция |
Противолежащие стороны параллельны и равны | + | + | + | + | - |
Все стороны равны | + | - | - | + | - |
Противолежащие углы равны, сумма соседних углов 180° | + | + | + | + | - + |
Все углы прямые | + | + | + | + | - |
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам | + | + | + | + | - |
Диагонали равны | + | + | - | + | + |
Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов | + | - | - | + | - |
Все виды четырехугольников имеют сходство по свойству углов. Проверим более подробно для четырехугольников, около которых смогли описать окружность: противолежащие углы у равнобедренной трапеции не равны, сумма односторонних и противоположных углов всегда 180°. Проверим наше умозаключение по учебнику. Действительно, если сумма противоположных углов в четырехугольнике 180°, то вокруг него можно описать окружность.
Заключение: наша гипотеза подтвердилась на 60%, так как в ходе эксперимента мы убедились, что и вокруг тупоугольного треугольника и вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Вывод 1: вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.
Вывод 2: окружность можно описать около квадрата, прямоугольника, равнобедренной трапеции. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.
Вывод 3: условие построения описанной вокруг четырехугольника окружности – сумма противоположных углов равна 180°.
Группа 3 (6 учащихся)
Гипотеза – мы думаем, что в любой треугольник, квадрат, ромб можно вписать окружность. В остальные фигуры вписать окружность невозможно.
Задачи
Провести практическую работу с готовыми многоугольниками. Найти ответы на вопросы: что значит окружность вписана в многоугольник?, при каком условии это возможно?, как построить такую окружность? Проверить полученные выводы по материалу учебника. Заполнить итоговую таблицу.Рисунки, полученные в результате практической работы группы:
Сравнение свойств четырехугольников
Свойства | Квадрат | Прямоугольник | Параллелограмм | Ромб | Равнобедренная трапеция |
Противолежащие стороны параллельны и равны | + | + | + | + | - |
Все стороны равны | + | - | - | + | - |
Противолежащие углы равны, сумма соседних углов 180° | + | + | + | + | - + |
Все углы прямые | + | + | + | + | - |
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам | + | + | + | + | - |
Диагонали равны | + | + | - | + | + |
Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов | + | - | - | + | - |
Все четырехугольники, в которые мы смогли вписать окружность, имеют сходство по длинам сторон. Мы путем проведенных измерений установили, что в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны, это же свойство прослеживается у квадрата и ромба. Проверим вывод по учебнику. Действительно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Заключение: наша гипотеза подтвердилась на 80%, так как в ходе эксперимента мы убедились, что и в равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
Вывод 1: в любой треугольник можно вписать окружность. Центром описанной окружности является точка пересечения биссектрис.
Вывод 2: окружность можно вписать в квадрат, ромб, трапецию. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
Вывод 3: условие построения вписанной в четырехугольник окружности – суммы противоположных сторон равны.
III. Выступление групп и заполнение итоговой таблицы.
Итоговая таблица
Многоугольники | Описать окружность | Условие | Центр окружности | Вписать окружность | Условие | Центр окружности |
Треугольник | + | В любой | Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров. | + | В любой | Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис |
Квадрат | + | Сумма противоположных углов в четырехугольнике 180° | + | Суммы противоположных сторон четырехугольника равны | ||
Прямоугольник | + | - | ||||
Ромб | - | + | ||||
Равнобедренная трапеция | + | + | ||||
Трапеция | - | + | ||||
Параллелограмм | - | - |
Руководитель группы в паре с учителем оценивает работу каждого учащегося в баллах.
В тетрадях записать полученные выводы.
IV. Домашнее задание: повторить теорию, задачи согласно УМК.
