Республиканский фестиваль «Дьо5ур» 2015

Физмат олимпиада. Задания по математике. 5.04.2015.

В прошлом году на олимпиаде Дьо5ур были предложены три задачи по математике. Назовем их А, В и С.  25 школьников решили хотя бы по одной задаче. Среди учеников, не решивших задачу А, решивших В в два раза больше, чем решивших С. Школьников, решивших только задачу А, на одного больше чем остальных школьников, решивших задачу А. Сколько школьников решили только задачу В, если среди школьников, решивших только  одну задачу, половина не решила задачу А? В каком-то квадрате провели как-то 9 прямых параллельно одной стороне, и еще 9 прямых параллельно смежной стороне. Таким образом получили 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них квадраты. Докажите, что среди этих квадратов обязательно найдутся два равных между собой. В треугольнике АВС биссектриса АД равна 2см. Она же делит противоположную сторону на отрезки длины 1см и 2см. Чему может равняться площадь треугольника АВС?

Республиканский фестиваль «Дьо5ур» 2015

Физмат бой. Задания по математике. 5.04.2015. Высшая лига. Первый день.

Радиус окружности равен 1. Возьмем произвольно 6 точек А, В, С, Д, Е, К на этой же плоскости. Доказать, что на окружности можно найти такую точку М, чтобы выполнялось условие: МА + МВ + МС+ МД+ МЕ+ МК6. Четыре шахматных короля поставили  так,  чтобы никакой из них не бил другого. Какое наибольшее количество королей еще можно гарантированно поставить на доску так, чтобы все поставленные короли не били друг друга. Фермер держит коров и лошадей. Число коров относилось к числу лошадей  как 2:3. После того, как четыре скота (или коров, или лошадей) забили, число коров стало относиться к числу лошадей как 3:4. Сколько живности  первоначально было у фермера, если известно, что всего живности  было меньше 60? Петя имеет поллитровую бутылку молока. А у Вани тоже такая же бутылка, но пустая. Сначала Петя отливает половину имеющегося у него молока Ване. Затем Ваня переливает половину своего молока Пете. Потом Петя переливает половину своего нового количества молока Ване, затем Ваня переливает половину своего нового количества молока Пете и так далее. Сколько будет молока у Пети после 2015 таких переливаний? Углы А и В треугольника АВС соответственно равны 150 и 300. Перпендикуляр СМ к стороне АС пересекает АВ так, что АМ=5. Найдите длину стороны ВС.

Республиканский фестиваль «Дьо5ур» 2015

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Физмат бой. Задания по математике. 5.04.2015. Первая лига. Первый день.

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 200 и 400. Докажите, что АВ + АК =  ВС, где АК – биссектриса. Натуральное число назовем «хорошим»,  если он состоит из различных цифр. Найдите наибольшее «хорошее» число, в котором произведение любых двух соседних чисел делится на 3. Можно ли нарисовать на клетчатой тетради пятиугольник, у которого все стороны целые, а вершины находятся на узлах клетчатой сетки? Квадратный трехчлен х2 +х1х +х2=0 имеет корни а и в, а квадратный трехчлен х2+ах+в=0 имеет корни х1 и х2. Найдите все такие трехчлены. (т. е. все числа а, в, х1 и х2) Найти все натуральные решения большие 10 и не превосходящие 100 уравнения 2х2 – у2=1

Республиканский фестиваль «Дьо5ур» 2015

Физмат бой. Задания по математике. 5.04.2015. Вторая лига. Первый день.

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 200 и 400. Докажите, что АВ + АК =  ВС, где АК – биссектриса. Четыре шахматных короля поставили  так,  чтобы никакой из них не бил другого. Какое наибольшее количество королей еще можно гарантированно поставить на доску так, чтобы все поставленные короли не били друг друга. Можно ли нарисовать на клетчатой тетради пятиугольник, у которого все стороны целые, а вершины находятся на узлах клетчатой сетки? Петя имеет поллитровую бутылку молока. А у Вани тоже такая же бутылка, но пустая. Сначала Петя отливает половину имеющегося у него молока Ване. Затем Ваня переливает половину своего молока Пете. Потом Петя переливает половину своего нового количества молока Ване, затем Ваня переливает половину своего нового количества молока Пете и так далее. Сколько будет молока у Пети после 2015 таких переливаний? Найти все натуральные решения большие 10 и не превосходящие 100 уравнения 2х2 – у2=1

Республиканский фестиваль “Дьо5ур” 2015

Физмат бой. Задания по математике. 6.04.2015. Высшая лига. Второй день

Про действительные числа xиyизвестно, что 0<xy≤4 и x+y+2+. Чему может быть равна сумма x+y? Прямоугольный параллелепипед с различными сторонами состоит из единичных кубиков, количество которых то ли 9991, то ли 9919. Разность каких-то двух его сторон не больше 6. Чему могут быть равны стороны параллелепипеда? Внутри окружности дана точка А, кратчайшее расстояние от которой до окружности равно 1, а длина кратчайшей хорды, проходящей через А, равна 4. Найдите радиус этой окружности. Решите уравнение. Периметр треугольника АВС равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне АВ. Отрезок этой касательной, заключенный между сторонами АС и СВ, равен 1. Найдите сторону АВ.

Республиканский фестиваль “Дьо5ур” 2015

Физмат бой. Задания по математике. 6.04.2015. Первая лига. Второй день

Периметр треугольника АВС равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне АВ. Отрезок этой касательной, заключенный между сторонами АС и СВ, равен 1. Найдите сторону АВ. Про действительные числа xиyизвестно, что 0<xy<=4 и x+y+2+. Чему может быть равна сумма x+y? По кругу стоят 2015 детей – девочки и мальчики (обязательно есть и те и другие). Каждого из них спросили:“Верно ли, что среди двух твоих соседей четное количество мальчиков?”. Могло ли так случиться, что каждый из них ответил:“Да”? Найдите все пары натуральных чисел, для которых произведение на 250 больше полусуммы. Друзья ели оладьи. Каждый съел меньше трети, но больше пятой части того, что съели остальные. Сколько было друзей?

Республиканский фестиваль “Дьо5ур” 2015

Физмат бой. Задания по математике. 6.04.2015. Вторая лига. Второй день

По кругу стоят 2015 детей – девочки и мальчики (обязательно есть и те и другие). Каждого из них спросили:“Верно ли, что среди двух твоих соседей четное количество мальчиков?”. Могло ли так случиться, что каждый из них ответил:“Да”? Найдите все пары натуральных чисел, для которых произведение на 250 больше полусуммы. Друзья ели оладьи. Каждый съел меньше трети, но больше пятой части того, что съели остальные. Сколько было друзей? Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенному между сторонами треугольника.

, учитель математики РЛ