Исследование зависимости нитяного математического маятника от различных параметров

МАОУ «Белоярская СОШ№1»

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ НИТЯНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ РАЗЛИЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ

  Подготовил:

  Ученик 10 б класса: Мурзин Фаиль

  Научный руководитель:

  , учитель физики 

2017г

Содержание

1. Введение                                                                                

2. Теоретическая часть 

2.1. Какие бывают маятники и как характеризуется их движение? 

2.2. Виды колебаний

2.3. Динамика периодического движения 

2.4. Гармонические колебания

2.5. колебания под действием силы упругости и силы тяжести         

3. Практическая часть

3.1.  План подготовки и проведения опытов

3.2. Измерительные приборы

3.3.Исследование зависимости периодов колебания от масс маятников

3.4.Исследование зависимости периодов колебания от амплитуд

3.5.Исследование зависимости периодов колебания от длины нити подвеса

4. Заключение 

5. Список используемой литературы

6. Приложения 

1. Введение.

Актуальность темы.

Всюду в нашей жизни мы встречаемся с колебательными движениями: периодически движутся участки сердца и легких, колеблются ветви деревьев при порыве ветра, ноги и руки при ходьбе, колеблются струны гитар, колеблется спортсмен на батуте и школьник, пытающийся подтянуться на перекладине, пульсируют звезды (будто дышат), а возможно и вся Вселенная, колеблются атомы в узлах кристаллической решетки.

  Мандельштам говорил, что если посмотреть историю физики, то можно увидеть, что главные открытия были связаны по существу с колебаниями. В сентябре1985 года в Мехико произошло землетрясение. Оно было очень разрушительным. Как установили эксперты, возникшие во время землетрясения колебания, случайно совпали с собственными колебаниями почвы под зданиями, а также с собственными колебаниями самих зданий. Длительность землетрясения привела к развитию резонансных явлений, которые и привели к разрушению зданий. Главной причиной разрушений в большинстве случаев была частота собственных колебаний зданий. Отсюда практический вывод: при строительстве в сейсмической зоне новых зданий следует неуклонно следить за тем, чтобы собственные колебания зданий не совпадали с собственными колебаниями грунта, - таким путем удастся значительно смягчить резонансный эффект. А для того, чтобы это уметь учитывать, нужно знать, от чего зависит частота и период колебаний.

Цель работы:

Изучить зависимость периода математического маятника от различных параметров

Задачи:

Изучить специальную литературу с целью определения степени теоретической разработки данной темы. Сформулировать последовательность экспериментальных исследований Изготовить (в домашних условиях) модель математического маятника Подготовить необходимый набор приборов для измерений Выполнить измерения периода колебаний маятников с разными массами, амплитудами колебаний и длинами нитей подвеса Провести обработку результатов измерений и сделать выводы

Объект исследования: модель математического маятника

Методы исследования:

Теоретические (теоретический анализ и обобщение специализированной литературы) Эмпирические (проведение экспериментов)

2. Теоретическая часть

2.1. Какие бывают маятники и как характеризуется их движение?

Различных маятников существует множество, в Интернете можно найти несколько десятков,

Пружинный, математический и крутильный маятники

если не сотню. Большинство из них сводится к трем основным видам, показанным на чертеже. Галилей работал с маятником, больше всего похожим наматематический. Такой маятник получается, если тяжелое тело малых размеров подвесить на легкой, прочной и длинной нити. Это значит, что должны выполняться условия:

,                                 (1)

где – длина нити, –размер груза, – вес нити и груза,  – удлинение (растяжение) нити под весом груза. При выполнении первого из условий (1) размером и формой груза можно пренебречь и считать, что весь груз сосредоточен в одной точке. Второе условие позволяет пренебречь весом нити и считать ее невесомой. Третье условие означает, что нить прочная и груз не может заметно растянуть ее во время опытов.

Если подвешенный груз предоставить самому себе, то спустя некоторое время он замрет в положении, когда нить будет располагаться вертикально, а точнее, будет направлена к центру Земли. Это положение называется положением равновесия. Если отклонить груз из положения равновесия, а потом отпустить, то он начнет двигаться к этому положению, постепенно увеличивая свою скорость. Пройдя положение равновесия, груз начнет замедляться, пока не остановится на мгновение в точке, похожей на ту, из которой стартовал, но расположенную с другой стороны от положения равновесия. С этого момента его движение будет таким же, как и движение из стартовой точки, только в обратную сторону. Такие движения, колебания, могут повторяться много раз. Максимальное отклонение груза от положения равновесия называется амплитудой колебаний, а время, за которое груз возвращается в исходную точку – периодом колебаний.

2.2. Виды колебаний

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются такие колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого–либо параметра системы.

2.3. Динамика периодического движения

Принципиально возможны два варианта колебаний в системе: под действием внешних и внутренних сил.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. Примером вынужденных колебаний является раскачивание боксерской груши при периодических ударах в нее. К вынужденным колебаниям относится движение иглы швейной машины.

Свободные (собственные) колебания – колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Такими колебаниями являются, например, колебания маятника часов. Главной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия.

Необходимые условия для возникновения свободных колебаний:

а) Наличие энергии, избыточной по сравнению с энергией системы в положении устойчивого равновесия;

б) Работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии.

В отсутствии этих условий колебания быстро затухают или не возникают вообще.

При рассмотрении колебательного движения используют термины. Самыми основными являются период колебаний и амплитуда колебаний.

Период колебаний – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия 6, с. 56.

2.4.  Гармонические колебания

«Существуют два определения гармонических колебаний. В первом случае гармонические колебания определяются по тому признаку, как именно они происходят, во втором – какой причиной они обуславливаются. Иначе говоря, если первое определение использует пространственно-временное (кинематическое) описание колебаний, то второе – причинное (динамическое).

Гармоническими называются колебания, которые происходят по закону синуса.

Гармоническими называются такие колебания, для которых возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению тела от положения равновесия.

Эти определения не эквивалентны, причем более предпочтительно первое (кинематическое), оно более полно. Так как характер движения тела в данный момент определяется не только силами, действующими на тело в этот момент, но и начальными условиями, т. е. положением и скоростью тела в начальный момент. Например, можно отклонить тело от положения равновесия на некоторое расстояние и затем спокойно отпустить его, оно начнет колебаться. При этом расстояние, на которое отклонено тело, будет являться амплитудой колебаний. Можно отклонять тело на различные расстояния от положения равновесия, тем самым, задавая различные амплитуды колебаний. Другой способ возбуждения колебаний состоит в том, чтобы телу, находящемуся в положении равновесия, сообщить некоторую начальную скорость (толкнуть его), тело начнет колебаться. При этом в зависимости от сообщенной телу начальной скорости получим ту или иную амплитуду колебаний. Очевидно, что этой величиной распоряжаемся мы сами, когда тем или иным способом возбуждаем колебания. Возвращающая сила определяет круговую частоту или, период колебаний тела. Можно сказать, чтопериод колебаний есть собственная характеристика колеблющегося тела, тогда как амплитуда и начальная фаза зависят от внешних условий, возбудивших данные колебания.

Возвращаясь к определениям гармонических колебаний. Мы видим, что динамическое определение не содержит никаких сведений ни об амплитуде, ни о начальной фазе колебаний, тогда как кинематическое определение содержит сведения об этих величинах» [1, с 87-90].

2.5. Колебания под действием силы упругости и силы тяжести

Колебания под действием силы упругости

Рассмотрим колебания пружинного маятника. Он состоит из массивного тела, надетого на пружину, один конец которой закреплен. Если оттянуть тело из положения равновесия и затем отпустить его, то оно будет совершать колебания около положения равновесия.

Причина колебаний тела на пружине является сила упругости, возникающая при растяжении и сжатии пружины, и инерция шара.

Измерения показывают, что при увеличении смещения колеблющегося тела сила упругости пружины возрастает пропорционально смещению. Значит, если сместить тело на расстояние х от положения равновесия, то величина силы F, возвращающей его в это положение, определиться из равенства: F=kx,        (1) где k – коэффициент пропорциональности – постоянная для данной пружины величина, численно равная силе, которая растягивает пружину на единицу длины. При этом сила всегда направлена к положению равновесия, смещение же отсчитывается от положения равновесия, т. е. направлено в сторону, противоположную силе. Чтобы отразить это в формуле надо правую часть равенства взять со знаком минус: F=- kx.        (2)

Периодические колебания, которые совершаются под действием силы, пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия, называются гармоническими (или простыми) колебаниями.

Согласно второму закону Ньютона. F=ma, где а – ускорение движения тела под действием силы F. Если в формулу (2) подставить вместо F произведение ma, то получим: ma=-kx, откуда: а=-kx/m.

Полученное выражение для ускорения позволяет определить гармоническое колебание следующим образом: при гармоническом колебании ускорение всегда прямо пропорционально величине смещения и противоположно ему направлено.

Упругие колебания представляют собой чрезвычайно распространенный и важный вид  колебаний. К числу их относятся, например, колебания под действием нагрузок частей машин, строительных балок, рессор; к ним же относятся звуковые колебания [3, с. 35].

Колебания под действием силы тяжести

Маятником может быть любое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находиться ниже точки подвеса. Очень удобным для многих опытов маятником может быть металлический шарик, подвешенный на нити.

Выведем такой маятник из положения равновесия и отпустим его – он будет колебаться. Рассмотрим причину этих колебаний.

Когда маятник покоится в положении равновесия, сила тяжести, действующая на тело, уравновешена натяжением нити. В отклоненном же положении сила тяжести и сила натяжения нити действуют на тело под углом друг к другу. Равнодействующая этих сил всегда направлена к положению равновесия; и величина ее будет тем больше, чем больше отклонен маятник от положения равновесия. Равнодействующая возвращает маятник к положению равновесия, обусловливая его колебания.

Когда маятник движется от положения равновесия, равнодействующая замедляет его движение тем сильнее, чем дальше он отклоняется. Когда же маятник начинает обратное движение к положению равновесия, равнодействующая начинает играть роль ускоряющей силы. Маятник не остановится в положении равновесия, а по инерции пройдет его и продолжит движение до полной остановки. Затем все повторится [3, с37].

Таким образом, при малых амплитудах колебания маятника под действием силы тяжести являются гармоническими, или простыми колебаниями.

3.Практическая часть

3.1.План подготовки и проведения опытов

1. Изготовление маятника.

2. Подбор  измерительных приборов.

3. Измерения масс маятников, длин нитей подвеса и периодов колебаний.

4. Исследование  зависимости периодов колебаний от масс маятников.

5. Исследование  зависимости периодов колебаний от амплитуд.

6. Исследование  зависимости периодов колебаний от длин нитей подвеса.

Изготовление модели математического маятника

Ясно, что определение математического маятника относится к идеальному объекту. Моделирование подобного объекта выполняется с использованием массы, локализованной в объёме, размеры которого малы по сравнению с длиной нити (стержня) подвеса, а масса велика по сравнению с массой нити (стержня) подвеса. В связи с этим, колеблющаяся масса в модели математического маятника выбиралась в форме шара с диаметром малым по сравнению с длиной нити подвеса.

       В домашних условияхв качестве материалов для изготовления маятника использовались : железный шар и пластмассовый, нитки, отвертка (как ось для крепления нити).

Выполняемые действия:

1.Шарики разных радиусов R (и масс m).

2.От катушки с нитками отмерял и отрезал нити с длинами l1≈150см и l2≈150см.

3.На одном конце нити привязывал шарик идругой конец привязывал к отвертке.

4.Отвертка вставлялась в щель между верхней частью двери и антресолью шкафа. (Приложение 1, рис.1, 2)

Выполнялось условие: R<<l1, l2. Это условие гарантирует применимость изготовленной  модели для изучения колебаний математического маятника.

3.2. Измерительные приборы

1.Измерение длин l нитей подвеса проводилось при помощи рулетки с точностью ∆l=±0,5см.

2. Измерение масс шариков проводилось при помощи бытовых весов с точностью∆m=±0,5г.

3.  Измерение времени колебаний проводилось при помощи секундомера сотового телефона с точностью∆t=±0,1c.

Демонстрация материалов и измерительных приборов можно увидеть на (Приложение 2)

Приведённое фото соответствует началу выполнения работы

Измерения периодов колебаний маятников

Для измерения периодов колебаний маятников шарик отклоняли от положения равновесия и отпускали, включая одновременно секундомер.

Отсчитывали 20 колебаний, останавливали секундомер и записывали время ф для 20 колебаний.

Период Т находили делением ф на 20:

Т= ф / 20.                                         (1)

Маятникизготавливаютс длиной нити подвесаl =l1≈150см и устанавливают в положении равновесия.

3.3. Исследование  зависимости периодов колебаний от масс маятников

Для двух шариков с массами m1 = 45г и m2 = 6г при l =l1≈150см измеряли продолжительности ф1 и ф2 для 20 колебаний. Оказалось, что ф1= ф2 ≈44с, то естьпериод колебаний от массы маятника не зависит, в соответствии с формулой (1), равен

  Т1 ≈ 2,2с. (Приложение 3, лабораторная 1)

3.4. Исследование  зависимости периодов колебаний от амплитуд

При небольших отклонениях от положения равновесия на углы и0≈50, 100 , 200 , 300измеренный период не зависит от и0, то есть от амплитуды  колебаний  маятника (в пределах  точности измерения времени ∆t = ± 0,1 секунды).

Для  демонстрации измеренияпериода колебаний маятника при l =l2≈52см

Маятникизготавливаюти устанавливаютв положении равновесия. (Приложение 3, лабораторная  2)

3.5.Исследования  зависимости периодов колебаний от длин нитей подвеса

Изменение длины нити подвеса приводит к изменению периода колебаний. Я провел ряд опытов, где не меняя амплитуду колебаний изменял длину подвеса нити и пришел к выводу, что период колебаний зависит от длины маятника. (Приложение 3, лабораторная 3)

                       

Таким образом, используя простейший набор исходных материалов и легкодоступных инструментов для измерения, можно получить зависимости, составляющие фундамент физики колебаний [6].

4. Заключение

Целью  исследовательской работы  было, доказать, что возможно сделать и испытать  маятник, близкий по своим характеристикам к математическому маятнику, в домашних условиях.

Проведение эксперимента подтвердило, независимость периода малых колебаний от амплитуды колебаний и от массы.

Нужно признать, что:

1) период колебаний Т не зависит от массы m маятника;

2) при небольших отклонениях от положения равновесия период не зависит от амплитуды  колебаний  маятника (в пределах  точности измерения времени ∆t = ± 0,1 секунды);

3) период колебаний Т зависит от длины нити lподвеса маятника.

И еще одно обстоятельство, на которое хотелось  бы обратить внимание, это то, чтоне смотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений:

Если амплитуда колебания маятника близка к р, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения. Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы. В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

Интереснейшим фактом является то, что известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии.

В заключении можно сказать, что изготовление собственными руками устройства несет минимальные денежные затраты и приносит огромную моральную удовлетворенность как в самом процессе изготовления, так и в процессе воспроизведения.

В процессе работы были проведены:

Анализ литературы по теме маятник Изучение принципа работы математического  маятника Изучение физических законов, позволяющих маятнику колебаться Ознакомление с устройством маятника

Благодаря вышеперечисленным работам было проведено практическое подтверждение ранее заявленной цели.

       Эта тема актуальна, так как может пригодиться мне для дальнейшего изучения физических процессов и их применения на практике и создания новых научно-исследовательских проектов.

5.Список литературы

, Методика факультативных занятий по физике. – М.: Просвещение, 1988 - 240 с. Учебное пособие для 10 кл. – М.: Просвещение, 1975. – 368 с. и др. Факультативный курс физики: 10 кл.: Учебное пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1987. – 208 с. Курс общей физики. – М.: Наука, 1966. – 404 с.  Элементарный учебник физики. – М.: Шрайк,  1995 – 608 с. Физика вокруг нас. – М.: Дом педагогики. 1998. – 336 с. Опыты в домашней лаборатории. – М.: Наука, 1980, 144 с. , , Курс общей физики. Механика и моллекулярная физика. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,1969. 400 с. Галилей, Галилео – Википедия

Приложения

Приложение 1 (фото приборов, используемых в домашних условиях)

Приложение 2 (фото ученика, выполняющего практическую часть)

Приложение 3

Лабораторная работа № 1 «Исследование периода колебаний математического маятника от массы » Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различной длине нити подвеса. Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити. Ход работы:

Угол	200	200	200	200	200	200	200	200
L, м	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8
Т, с	2,46	2.37	2,29	2,20	2,10	2,01	1,9	1,79

Вывод: период колебаний математического маятника зависит от длины маятника. Чем короче нить подвеса, тем меньше период и наоборот.

Лабораторная работа №2 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от угла отклонения» Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различных углах отклонения. Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити.

Длина маятника	150 см	150 см	150 см	150 см
Угол отклонения	200	150	100	50
Период колебаний	2,46 с	2,46 с	2,46 с	2,46 с

Вывод: период колебаний математического маятника не зависит от угла отклонения и является величиной постоянной для данной длины маятника.

Лабораторная работа № 1 «Исследование периода колебаний математического маятника от длины нити» Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различной длине нити подвеса. Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити. Ход работы:

Угол	200	200	200	200	200	200	200	200
L, м	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8
Т, с	2,46	2.37	2,29	2,20	2,10	2,01	1,9	1,79

Вывод: период колебаний математического маятника зависит от длины маятника. Чем короче нить подвеса, тем меньше период и наоборот.

Лабораторная работа №2 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от угла отклонения» Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различных углах отклонения. Оборудование: металлический шарик на  закрепленной нити.

Длина маятника	150 см	150 см	150 см	150 см
Угол отклонения	200	150	100	50
Период колебаний	2,46 с	2,46 с	2,46 с	2,46 с

Вывод: период колебаний математического маятника не зависит от угла отклонения и является величиной постоянной для данной длины маятника.