ЗАДАНИЯ  ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 2015



Вычислить:

Решение.

Ответ.

Найти  сумму всех целочисленных решений неравенства

Решение.

Данное неравенство равносильно системе:

Целочисленными являются решения  Следовательно, их сумма

Ответ. 13.


Найти значение выражения

если – число корней уравнения  а – его положительный корень.

Решение.

Область допустимых значений для левой части исходного уравнения задается системой

которая  равносильна системе

Решая данное уравнение, получаем:

Так как то данное уравнение имеет единственный корень а искомое значение равно

Ответ. 3.


Найти значение выражения если известно, что и – значения функции

в точках минимума и максимума соответственно.

Решение.

  при  – критические точки.

Учитывая характер смены знака при прохождении через точки и замечаем, что

Таким образом,

Ответ. 4.


Найти расстояние от точки графика функции  в которой касательная параллельна прямой  до точки

Решение.

Так как  а угловой коэффициент прямой равен , то  используя условие параллельности прямых   делаем вывод о том, что абсцисса точки касания должна удовлетворять уравнению  т. е.   Тогда  ордината  точки касания  равна

По формуле

найдем искомое расстояние:

Ответ. 5.


Найти количество всех целых решений неравенства

Решение.

Данное неравенство равносильно системе:

Целым является решение одно 

Ответ. 1.

Через точку проходят две касательные к графику функции

Найти сумму абсцисс точек касания.

Решение.

Поэтому уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой имеет вид

Так как касательная проходит через точку  то получаем уравнение

которое приводится к квадратному

Теорема Виета позволяет получить искомое значение, не находя корней этого уравнения:

Ответ.