Турнир юных математиков — 2017 (5-6 класс)

Турнир юных математиков – 2017 (5-6 класс).

Задача №1 (1 балл)

На острове Буяне четыре королевства, причем каждое граничит с тремя остальными. Нарисуйте карту острова так, как вы ее себе представляете.

Задача №2 (2 балла)

Из 156 яблок, 234 мандаринов и 390 конфет сделали наибольшее  возможное число одинаковых новогодних подарков. Сколько сделано подарков?

Задача №3 (3 балла)

В морской порт теплоход «Счастливый» прибывает один раз в 3 дня, теплоход «Удачный» - один раз в 4 дня, теплоход «Надежный» — один раз в 6 дней. Третьего марта все три теплохода были в этом порту. Какого числа они все снова прибудут в этот порт?

Задача №4 (4 балла)

Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
- если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим; - первая цифра больше последней в 4 раза.
Сколько лет старику Хоттабычу?

Задача №5 (5 баллов)

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш - за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут?

(Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Перекидывать фонарик  нельзя.)

Задача №6 (6 баллов)

Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на каждом из них пересекались только две дороги.

Задача №7 (7 баллов)

Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.

Задача №8 (8 баллов)

Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

(Максимальное количество баллов – 36)

Решения к задачам турнира.

Задача №1

Пример показан на рисунке

Задача №2

Найдем НОД чисел 156, 234 и 390. Это будет число 78. Значит наибольшее возможное число новогодних подарков будет 78. В каждом подарке будет 2яблока, 3 мандарина и 5 конфет.

Задача №3

Для чисел 3, 4, 6 найдем НОК. Тогда 3 марта +12=15 марта.

15 марта все три теплохода встретятся в порту.

Задача №4

Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя — 2. В результате получаем число 8942.
Старику Хоттабычу 8942 года.

Задача №5

Переходят папа и мама - 2 минуты,
Папа, с фонариком возвращается - 1 минута,
Переходят бабушка, и малыш - 10 минут,
Мама с фонариком возвращается - 2 минуты,
Переходят папа и мама - 2 минуты.
Итого: 17 минут.

Задача №6

Рисуем 6 крепостей (на каждой надписываем цифру 1,2,3,4 и т. д.) От крепости номер 1 проводим дорогу к номеру 3, от 2 к 4, от 3 крепости проводим дорогу к 5 и от четвертой к шестой. При таком соединении образуется 3 перекреста и на каждом из них пересекутся 2 дороги.

Задача №7

В течение недели Робинзон вырежет на доске по две буквы «п» (понедельник, пятница), «в» (вторник, воскресенье), «с» (среда, суббота) и одну букву «ч» (четверг). Так как 2013=287·7+4=2009+4, то через 2009 дней будет вырезано по 574 буквы «п», «в», «с» и 287букв «ч». Через четыре дня количества букв оказались различными. Для этого нужно, чтобы в эти четыре дня одна из букв «п», «в», «с» появилась дважды, одна – один раз и одна не появлялась. Значит, четвертой появившейся буквой должна быть «ч». Буквы идут в следующем порядке: «п», «в», «с», «ч», «п», «с», «в», «п», «в», «с» …

Таким образом, возможна лишь ситуация: «с», «ч», «п». Это означает, что Робинзон попал на остров в среду.

Задача №8

Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3, ..., из последнего — 10. Взвесим их. Если фальшивая монета в первом мешке — будет не хватать 5 г, если во втором — 10, ... если в последнем — 50 г.