Математический анализ (стр. 1 )

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 4
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1	Цели освоения дисциплины:оснастить обучающихся математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; дать обучающимся базовые знания по математическому анализу, необходимые для понимания дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей и других математических дисциплин.
1.2	Задачи освоения дисциплины:развить у обучающихся логическое мышление; теоретическое освоение обучающимися современных концепций и моделей математики; формирование у обучающихся практических навыков исследования и применения аппарата математического анализа в структурах экономики.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
Цикл (раздел) ООП:	Б1.Б
2.1	Требования к предварительной подготовке обучающегося:
2.1.1	Необходимыми условиями для успешного освоения дисциплины являются навыки, знания и умения, полученные в результате изучения дисциплины:Знание математики в объеме школьного курса
2.2	Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее:
2.2.1	Инновационный менеджмент
2.2.2	Деньги, кредит, банки
2.2.3	Микроэкономика
2.2.4	Теория вероятностей и математическая статистика
2.2.5	Современные компьютерные технологии в экономике
2.2.6	Макроэкономика
2.2.7	Социально-экономическая статистика
2.2.8	Эконометрика
2.2.9	Методы принятия управленческих решений
2.2.10	Теория принятия решений
2.2.11	Математические методы в экономике
2.2.12	Инвестиционная и инновационная деятельности предприятия
2.2.13	Планирование и прогнозирование на предприятии
2.2.14	Рынок ценных бумаг
2.2.15	Финансовый анализ хозяйствующего субъекта
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
ОПК-3: способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы
Знать:
Уровень 1	Основы математического анализа, в том числе: методы вычисления пределов функций, нахождение производных, нахождение первообразных, методы решения дифференциальных уравнений
Уровень 2	Основы математического анализа, в том числе: теорию функций и отображений, методы вычисления пределов функций, нахождение производных, нахождение первообразных, методы решения дифференциальных уравнений, разложения функций в степенные ряды
Уровень 3	Основы математического анализа, в том числе: теорию функций и отображений, методы вычисления пределов функций, нахождение производных, нахождение первообразных, методы решения дифференциальных уравнений, разложения функций в степенные ряды, необходимые для решения задач получения, хранения, обработки и анализа экономической информации
Уметь:
Уровень 1	Применять методы математического анализа, в том числе: методы дифференциального и интегрального исчисления, теорию дифференциальных уравнений
Уровень 2	Применять методы математического анализа, в том числе: методы дифференциального и интегрального исчисления, теорию дифференциальных уравнений и рядов
Уровень 3	Применять методы математического анализа, в том числе: методы дифференциального и интегрального исчисления, теорию дифференциальных уравнений и рядов для обработки и анализа экономической информации
Владеть:
Уровень 1	навыками осуществления расчетов, необходимых для решения экономических задач
Уровень 2	навыками осуществления расчетов, необходимых для составления экономических разделов планов

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 5
Уровень 3	навыками осуществления расчетов, необходимых для составления экономических разделов планов, включающих математическую обработку данных методами математического анализа
ПК-4: способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты
Знать:
Уровень 1	Основы математического анализа, в том числе: теорию функций многих переменных, основные элементы теории пределов и непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений
Уровень 2	Основы математического анализа, в том числе: теорию функций многих переменных, понятия локального и условного экстремума функции многих переменных, основные элементы теории пределов и непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений и рядов
Уровень 3	Основы математического анализа, в том числе: теорию функций многих переменных, понятия локального и условного экстремума функции многих переменных, основные элементы теории пределов и непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений и рядов, необходимые для построения и анализа математических моделей экономических процессов
Уметь:
Уровень 1	Применять инструментарий математического анализа для решения экономических задач
Уровень 2	Применять инструментарий математического анализа для решения экономических задач, в том числе: строить математические модели экономических процессов
Уровень 3	Применять инструментарий математического анализа для решения экономических задач, в том числе: строить математические модели экономических процессов, исследовать функцию на экстремум (локальный и условный), решать простейшие дифференциальные уравнения, вычислять определенные интегралы с помощью разложения функций в степенные ряды
Владеть:
Уровень 1	навыками применения основ математического анализа
Уровень 2	навыками применения основ математического анализа для построения математических моделей
Уровень 3	навыками применения основ математического анализа для построения математических моделей исследуемых экономических процессов
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Код занятия	Наименование разделов и тем /вид занятия/	Семестр / Курс	Часов	Компетен- ции	Литература	Интер акт.	Примечание
Раздел 1. Модуль 1."Теория пределов и дифференциальное исчисление"
1.1	Тема 1.1 «Отображения и функции» Понятие функции. Образ, прообраз элемента, множества. Компо-зиция отображений. Взаимнооднозначное отображение. Обратная функция. Графики взаимообратных функций. Действия над числовыми функциями /Пр/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	4
1.2	Тема 1.1. "Функции и отображения" Понятие функции, область определения, область значений. Способы задания функции. Образ и прообраз элемента, множества. Сложная функция. Постоянная функция, монотонная функция. Взаимнооднозначное отображение, обратная функция. Классификация элементарных функций.  /Лек/	1	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 6
1.3	Тема 1.1 «Отображения и функции» Понятие функции. Образ, прообраз элемента, множества. Компо-зиция отображений. Взаимнооднозначное отображение. Обратная функция. Графики взаимообратных функций. Действия над числовыми функциями /Ср/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
1.4	Тема 1.2 «Предел и непрерывность функции» Промежутки. Понятие окрестности точки, проколотая окрест-ность. Понятие предельной точки множества, определение преде-ла, геометрическая интерпретация предела функции. Понятие не-прерывности функции (приращение аргумента и приращение функции, два определения непрерывности и теорема об их равно - сильности) Бесконечно малые функции. Ограниченные функции. Основные теоремы о бесконечно малых и ограниченных функциях. Беско-нечно большие функции. Основные свойства бесконечно больших функций. Основные теоремы о пределах: критерий существования предела функции, предел постоянной функции, теоремы о пределе суммы, произведения, частного: теорема о единственности предела функции; теорема о пределе промежуточной функции: теоремы о предельном переходе в неравенствах и равенствах. Теорема о существовании предела сложной функции. Основные теоремы о непрерывных функциях: теорема о непре-рывности суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции; теорема о непрерыв-ности элементарных функций. Раскрытие неопределенностей: первый замечательный предел; понятие факториала; второй заме-чательный предел; понятие о неопределенностях. Теорема Вейерштрасса, теорема Больцано, теорема о промежу-точном значении непрерывной на отрезке функции. Односторон-ние пределы и односторонняя непрерывность. Типы точек разры-ва. /Лек/	1	6	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 7
1.5	Тема 1.2 «Предел и непрерывность функции» Вычисление пределов. Неопределённость 0/0, ∞/∞, 0∙∞. Первый замечательный предел Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей:  ,  . Второй замечательный предел. Самостоятельная работа по темам: «Отображения и функции, «Предел функции». Исследование функции на непрерывность. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Типы точек разрыва. /Пр/	1	8	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	4
1.6	Тема 1.2 «Предел и непрерывность функции» Вычисление пределов. Неопределённость 0/0, ∞/∞, 0∙∞. Первый замечательный предел Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей:  ,  . Второй замечательный предел. Самостоятельная работа по темам: «Отображения и функции, «Предел функции». Исследование функции на непрерывность. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Типы точек разрыва. /Ср/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
1.7	Тема 1.3. «Дифференциальное исчисление» Нахождение производных элементарных функций. Нахождение производной сложной функции. Нахождение дифференциала функции. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Правило Лопиталя. Исследование функции методами дифференциального исчисле-ния: достаточные признаки монотонности и постоянства функции; достаточные признаки существования экстремума функции (признак, основанный на 1-й производной и признак, основанный на 2-й производной); достаточные признаки выпуклости, вогнутости функции; достаточное условие существования точек перегиба; асимптоты вертикальные и наклонные. Общая схема исследования функции и построение графика. Контрольная работа по модулю 1 по темам «Непрерывность функции», «Дифференциальное исчисление». /Пр/	1	10	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	2

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 8
1.8	Тема 1.3. «Дифференциальное исчисление» Нахождение производных элементарных функций. Нахождение производной сложной функции. Нахождение дифференциала функции. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Правило Лопиталя. Исследование функции методами дифференциального исчисле-ния: достаточные признаки монотонности и постоянства функции; достаточные признаки существования экстремума функции (признак, основанный на 1-й производной и признак, основанный на 2-й производной); достаточные признаки выпуклости, вогнутости функции; достаточное условие существования точек перегиба; асимптоты вертикальные и наклонные. Общая схема исследования функции и построение графика. Контрольная работа по модулю 1 по темам «Непрерывность функции», «Дифференциальное исчисление». /Ср/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
1.9	Тема 1.3.  «Дифференциальное исчисление» Понятие производной и дифференциала функции. Геометриче-ский смысл производной, касательная и нормаль к кривой. Необ-ходимое условие дифференцируемости функции. Основные пра-вила дифференцирования. Основные свойства дифференциала. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Определение экстремума функ-ции. Теоремы о функциях, дифференцируемых на промежутке: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Пра-вило Лопиталя. Исследование функции методами дифференциального ис-числения: достаточные признаки монотонности и постоянства функции. Достаточный признак существования экстремума функ-ции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Критерий локального экстремума, основанный на второй произ-водной. Понятие выпуклости, вогнутости функции. Точки перегиба. Признаки выпуклости (вогнутости) функции. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение графика. /Лек/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
Раздел 2. Модуль 2 «Интегральное исчисление»

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 9
2.1	Тема 2.1 «Неопределенный интеграл». Первообразная функции. Теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл. Теорема существования. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования: метод разложения; подстановки; по частям; ин - тегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен; ин-тегрирование рациональных функций и простейших иррацио-нальных функций; интегрирование тригонометрических функций. Понятие о неберущихся интегралах.  /Лек/	1	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
2.2	Тема 2.1. «Неопределенный интеграл» Методы интегрирования: метод разложения; подстановки, подве-дения под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций, простейших иррациональных выражений. /Ср/	1	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
2.3	Тема 2.1. «Неопределенный интеграл» Методы интегрирования: метод разложения; подстановки, подве-дения под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций, простейших иррациональных выражений. /Пр/	1	8	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	4
2.4	Тема 2.2 «Определенный интеграл». Понятие интегральной сум-мы. определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Теорема существования опреде-ленного интеграла. Свойства определенного интеграла. Понятие определенного интеграла с переменным верхним преде-лом, теорема о его дифференцируемости. Формула Ньюто-наЛейбница. Теорема о замене переменной в определенном ин-теграле. Метод интегрирования по частям в определенном инте-грале. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисле-ние площадей плоских фигур. Понятие несобственных интегралов 1 и 2 рода /Лек/	1	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 10
2.5	Тема 2.2. «Определенный интеграл» Вычисление определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур. Исследование на сходимость несобственных интегралов 1 и 2 рода. Модульная контрольная работа «Интегрирование» /Пр/	1	6	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	4
2.6	Тема 2.2. «Определенный интеграл» Вычисление определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур. Исследование на сходимость несобственных интегралов 1 и 2 рода. /Ср/	1	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
2.7	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Методы интегрирования» /Ср/	1	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
2.8	/Зачёт/	1	0	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
Раздел 3. Модуль 1 «Теория функций многих переменных»
3.1	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Определение функции многих переменных. Открытый шар, от-крытый проколотый шар. Окрестность точки. Предельная точка множества. Предел функции многих переменных. Понятие беско-нечно малой, бесконечно большой, ограниченной функции многих переменных. Основные теоремы о пределах, о бесконечно малых и ограниченных функциях многих переменных. Полное приращение функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных (два определения непрерывности и теорема об их равносильности). Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций многих переменных. Частные приращения и частные производные. Определение диф - ференцируемой функции многих переменных. Полный дифференциал. Понятие сложной функции многих переменных. Теорема о непре-рывности сложной функции. Теорема о производной сложной функции. Понятие неявной функции. Теорема о неявной функции. Теорема о производных неявной функции. Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Градиент. Теорема о градиенте. Гиперповерхность уровня. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня /Лек/	2	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 11
3.2	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Нахождение производных высших порядков. Проверка тождеств, содержащих частные производные высших порядков. Производные неявной функции двух и более переменных. Дифференциал второго порядка. Производная по направлению, градиент. Касательная гиперплос-кость к гиперповерхности уровня. Построение линии уровня функции f(x) в точке, касательной и вектора нормали к линии уровня в точке  . /Пр/	2	6	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	6
3.3	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Нахождение производных высших порядков. Проверка тождеств, содержащих частные производные высших порядков. Производные неявной функции двух и более переменных. Дифференциал второго порядка. Производная по направлению, градиент. Касательная гиперплос-кость к гиперповерхности уровня. Построение линии уровня функции f(x) в точке, касательной и вектора нормали к линии уровня в точке  . /Ср/	2	8	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
3.4	Тема 1.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Понятие внутренних и граничных точек множества. Понятие локального экстремума функции многих переменных. Критическая точка градиента. Необходимое условие существова-ния локального экстремума. Понятие замкнутого, ограниченного множества. Теорема о функции, непрерывной на компакте. Част-ные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешан-ных частных производных второго порядка. Гессиан. Достаточные условия существования локального экстремума. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. Понятие условного экстремума функции многих переменных. Уравнение связи. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточ-ные условия существования условного экстремума. Случай функ-ции двух переменных. /Лек/	2	2	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 12
3.5	Тема 1.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Исследование функции на локальный экстремум Исследование функции на условный экстремум. Метод множите-лей Лагранжа. Функция полезности и потребительский спрос. Бюджетное огра-ничение. Кривые безразличия. Задача максимизации функции полезности. Контрольная работа по модулю 1 по темам «Дифференцируемые функции многих переменных», «Локальный экстремум функции многих переменных», «Условный экстремум функции многих переменных». /Пр/	2	10	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	10
3.6	Тема 1.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Исследование функции на локальный экстремум Исследование функции на условный экстремум. Метод множите-лей Лагранжа. Функция полезности и потребительский спрос. Бюджетное огра-ничение. Кривые безразличия. Задача максимизации функции полезности. /Ср/	2	10	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
Раздел 4. Модуль 2 «Дифференциальные уравнения. Ряды»

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 13
4.1	Тема 2.1.  «Дифференциальные уравнения". Понятие дифференциального уравнения n-ого порядка. Решение, общее решение, частное решение, общий интеграл дифференци-ального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши. Про-стейшие дифференциальные уравнения высших порядков. Диф-ференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однород-ные и неоднородные). Теорема о структуре общего решения ли-нейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего ре-шения линейного неоднородного уравнения. Линейные диффе-ренциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об общем решении однородного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой части. /Лек/	2	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
4.2	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Решение простейших дифференциальных уравнений n-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян-ными коэффициентами /Пр/	2	6	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	6
4.3	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Решение простейших дифференциальных уравнений n-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян-ными коэффициентами /Ср/	2	20	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 14
4.4	Тема 2.2. «Ряды». Определение числового ряда. Частные суммы. Сходимость, рас-ходимость ряда. Ряд бесконечной геометрической прогрессии. Ряд Стирлинга. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. При-знак Лейбница. Следствие. Абсолютная и условная сходимость. Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Область сходи-мости. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена  элементарных функций. Применение степенных рядов к приближенному вычисле-нию значений функций. Применение степенных рядов к вычисле-нию определенных интегралов. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. /Лек/	2	8	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 15
4.5	Тема 2.2. «Ряды». Определение числового ряда. Частичная сумма ряда. Остаток. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходи-мости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными чле-нами: Даламбера, Коши, интегральный. Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. При-знак Лейбница. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда. Иссле-дование сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена элемен-тарных функций. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций. Применение степенных рядов к вычислению определенных инте-гралов и к решению дифференциальных уравнений. Контрольная работа по модулю 2 по темам «Дифференци-альные уравнения», «Числовые ряды», «Знакопеременные ряды», «Степенные ряды», «Применение рядов к приближенным вычис-лениям». /Пр/	2	14	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	14

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 16
4.6	Тема 2.2. «Ряды». Определение числового ряда. Частичная сумма ряда. Остаток. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходи-мости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными чле-нами: Даламбера, Коши, интегральный. Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. При-знак Лейбница. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда. Иссле-дование сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена элемен-тарных функций. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций. Применение степенных рядов к вычислению определенных инте-гралов и к решению дифференциальных уравнений. Контрольная работа по модулю 2 по темам «Дифференци-альные уравнения», «Числовые ряды», «Знакопеременные ряды», «Степенные ряды», «Применение рядов к приближенным вычис-лениям». /Ср/	2	12	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
4.7	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд элементарных функ - ций». /Ср/	2	4	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
4.8	/Экзамен/	2	36	ОПК-3 ПК - 4	Л1.1 Л1.2 Л1.3 Л2.1 Л2.2 Л2.3	0
5. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
5.1. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Вопросы к зачету 1. Понятие числовой функции.  Область определения, область  и множество  значений. 2. Способы задания функций. 3. Образ, прообраз элемента, множества. 4. Сложная функция (композиция отображений). 5. Постоянная функция, монотонная функция. 6. Взаимнооднозначное отображение. Обратная функция. 7 Окрестность, симметричная окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности символов бесконечности. 8. Понятие предельной точки множества. 8. Предел функции. 9. Конечные и бесконечные пределы в конечных и  бесконечных предельных точках. 10. Геометрический смысл предела функции. 11. Бесконечно  малые  и бесконечно большие  функции, ограниченные и неограни-ченные функции. 12. Основные теоремы об ограниченных функциях, о бесконечно малых и бесконечно больших  функциях. 13. Критерий существования конечного предела. 14. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml

стр. 17

15. Теорема о пределе постоянной,  о вынесении числового  множителя за знак предела. 16.. Теорема о  единственности предела. 17. Теорема  о  пределе  промежуточной функции,  о предельном переходе в неравен-ствах. 18. Два определения  непрерывности  функции. Теорема о равносильности этих опреде-лений. 19. Теоремы  о непрерывности суммы, произведения, частного  непрерывных функций. 20. Теорема о непрерывности сложной функции. 21.  Основные теоремы о функциях,  непрерывных на промежутке. 22 Точки разрыва и их классификация. 23. Условия непрерывности функции в точке. 24. Понятие производной функции и дифференциала.. Геометрический смысл произ-водной. Уравнение касательной. 25.  Необходимое условие дифференцируемости функции. 26. Основные правила дифференцирования. 27.  Теорема Ферма и ее геометрический смысл. 28. Теорема Лагранжа. 29. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. 30. Определение монотонности функции. Признаки монотонности функции. 31. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. 32. Достаточное условие экстремума, основанное на первой производной. 33. Достаточное условие существования экстремума, основанное на второй производ-ной. 34. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. 35. Понятие о выпуклости, вогнутости и точках перегиба графика функции. 36. Признаки выпуклости и вогнутости. 37. Определение точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. 38. Асимптоты графика функции. 39. Первообразная функции, теоремы о первообразных. 40. Неопределенный интеграл и его свойства. 41. Теорема существования. 42. Таблица неопределенных интегралов. 43. Метод подстановки в неопределенном интеграле. 44. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 45.  Понятие о “неберущихся” интегралах в элементарных функциях. 46. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла. Теорема су-ществования. 47.Геометрический смысл определенного интеграла. 48. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами. 49. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами. 50. Теорема о среднем. 51. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его дифферен-цируемости. 52. Формула Ньютона-Лейбница. 53. Теорема об интегрирования по частям в определенном интеграле. 54. Теорема о замене переменной в определенном интеграле. 55. Геометрические приложения определенного интеграла. 56. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Вопросы к экзамену 1. Понятие дифференциального уравнения n-го порядка. Решение, общее решение, частное решение дифференциального уравнения. 2.  Интегральные кривые. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Метод их решения. 4.  Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод их решения. 5.  Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 6.  Простейшие дифференциальные уравнения высших порядков. 7.  Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциаль-ного уравнения 2-го порядка. 8.  Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференци-ального уравнения 2-го порядка. 9. Понятие функции многих переменных. Открытый шар, открытый проколотый шар. Окрестность точки. 10.  Предельная точки множества. Предел функции многих переменных. 11. Понятие бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной функции многих переменных. 12. Основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших  функциях. 13. Основные теоремы о пределах. 14. Полное приращение функции многих переменных. 15. Непрерывность функции многих переменных: два определения непрерывности и теорема об их равносильности. 16. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функ-ций многих переменных. 17. Частные приращения и частные производные. 18. Определение дифференцируемой функции многих переменных. Полный диффе-ренциал. Теорема о дифференцируемой функции многих переменных. 19. Понятие сложной функции многих переменных. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о производной сложной функции. 20. Понятие неявной функции. Теорема о неявной функции. Теорема о производных неявной функции. 21. Производная по направлению. Градиент. Теорема о производной по направле-нию. Теорема о градиенте.

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 18
22. Гиперповерхность уровня. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня. 23. Понятие внутренних и граничных точек множества. 24. Понятие локального экстремума функции многих переменных. 25. Критическая точка градиента. Необходимое условие существования локального экстремума. 26. Понятие замкнутого, ограниченного множества. 27. Частные производные высших порядков. 28. Достаточные условия существования локального экстремума. 29. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. 30. Понятие условного экстремума функции многих переменных. Уравнение связи, функция Лагранжа. 31. Необходимое условие существования условного экстремума. 32.  Достаточное условие существования  условного экстремума. 33. Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сходящийся ряд, расходящийся ряд. Сумма ряда. 34. Необходимый признак сходимости числового ряда. Следствие из необходимого признака. 35. Произведение ряда на число. Сумма двух рядов. Теоремы о произведении ряда на число и о сумме двух рядов. 36. Остаток ряда. 37. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравне-ния, Даламбера, Коши, интегральный. 38. Знакопеременный ряд. Знакочередующийся ряд. 39. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Следствие из призна-ка Лейбница. 40. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости знакопеременного ряда. 41. Функциональный ряд и область его сходимости. 42. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда.  Интервал сходимости, об-ласть сходимости. 43. Теорема Абеля. 44. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. 45. Теорема о почленном интегрировании степенного ряда. 46. Формула Тейлора. 47. Ряд Тейлора.
5.2. Фонд оценочных средств для проведения текущего контроля
Структура и содержание фонда оценочных средств представлены в Приложении 1 к рабочей программе дисциплины
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы, составители	Заглавие	Издательство, год	Колич-во
Л1.1	, ,	Математический анализ: учеб. пособие для бакалавров	М.: Юрайт, 2012	200
Л1.2		Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов	М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2008	61
Л1.3	,	Математика для экономического бакалавриата: учеб. пособие для студентов, обучающихся по напр. "Экономика"	М.: ИНФРА-М, 2014	50
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы, составители	Заглавие	Издательство, год	Колич-во
Л2.1	Высшая математика для экономистов: Учеб.	М.: ЮНИТИ, 2002	81
Л2.2	, ,	Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов	М.: Высш. шк., 1998	50
Л2.3		Математика в экономике: Задачи и решения: Учеб.-метод. пособие	М.: РДЛ, 2004	150
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Э1	Начала математического анализа http://biblioclub. ru/index. php? page=book_view_red&book_id=231712
Э2	и др. Математика в экономике: учебник, Ч. 2. Математический анализ http://biblioclub. ru/index. php? page=book_view_red&book_id=86078
Э3	Высшая математика для экономистов: учебник / Н. Ш., Кремер, , - Издатель: Юнити-Дана, 2012. http://biblioclub. ru/index. php? page=search
6.3. Перечень программного обеспечения

УП: 38.03.01.03_1.plm. xml	стр. 19
6.3.1	Microsoft Office Excel,
6.3.2	Maple,
6.3.3	Maxima  (лицензия GPL)
6.4 Перечень информационных справочных систем
6.4.1	Консультант +
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
7.1	Помещения для проведения всех видов работ, предусмотренных учебным планом, уком-плектованы необходимой специализированной учебной мебелью и техническими средствами обучения. Для проведения лекционных занятий используется демонстрационное оборудование.
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Методические указания по освоению дисциплины представлены в Приложении 2 к рабочей программе дисциплины.