Дифференциальные уравнения (стр. 7 )

,

то можно записать следующую систему уравнений:

Проинтегрируем первое уравнение системы:

где - неизвестная функция. Для ее нахождения подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы:

,

откуда имеем: . Учитывая это, запишем выражение для функции : , а тогда данное уравнение в D имеет общее решение:

.

Ответ.  .

Пример 5. Решить уравнение  .

Решение. Поскольку

,

то данное д. у. не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся подобрать интегрирующий множитель. Так как

то

.

Умножим данное д. у. на этот интегрирующий множитель:

,  где ,

и решим получившееся д. у. в полных дифференциалах:

Ответ.

Пример 6. Решить уравнение  .

Решение. Данное д. у. - уравнение Лагранжа, здесь . После введения параметра (заметим, что ) уравнение примет вид:

.

Продифференцируем последнее уравнение по :

Последнее уравнение - линейное. Применим для его решения метод вариации произвольной постоянной. Для этого вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Разделяя переменные, находим его общее решение . Проварьируем постоянную , считая, что . Тогда . С учетом этого линейное уравнение принимает вид , откуда . Общее решение линейного уравнения .

Итак, данное уравнение Лагранжа имеет общее решение, которое в параметрической форме записывается так:

Кроме того, и - решение данного уравнения, не получаемое из общего.

Ответ:   .

Пример 7. Решить уравнение  .

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

.

Это д. у.- уравнение Клеро, здесь . Его общее решение:

  .  (19)

Для нахождения частного решения - огибающей семейства прямых (19) - составим систему уравнений, аналогичную системе (18):

Выразим из второго уравнения системы и подставим в первое уравнение системы. Получим

.

Это и есть особое решение данного уравнения. Оно представляет собой кривую, а общее решение (19) - семейство касательных к этой кривой.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Данное д. у. третьего порядка. Входящая в него младшая производная - это . После замены (при этом ) получаем д. у. первого порядка:

или после деления обеих его частей на приходим к  уравнению Бернулли:

  .  (1)

Решим его методом вариации произвольной постоянной. Общим решением соответствующего однородного уравнения:

является функция или после вариации постоянной .

С учетом того, что , уравнение (1) принимает вид:

.

Тогда или . Последнее д. у. второго порядка решается аналогично уравнению, рассмотренному в примере 16, а именно - последовательным двукратным интегрированием. Его общее решение имеет вид:

.

Ответ.  .

Пример 9. Решить уравнение: .

Решение. В результате подстановки приходим к д. у. первого порядка:

.

Это - уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение . В результате обратной замены приходим к новому уравнению с разделяющимися переменными:

с общим решением .

Ответ.  .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Перепишем данное д. у. второго порядка в виде

.

Функция - однородная функция второй степени относительно . Разделим обе части последнего уравнения на (заметим, что - решение данного д. у.) и произведем подстановку , в результате чего получим уравнение первого порядка:

,

а именно – уравнение Бернулли. Находим его общее решение, например, методом вариации произвольной постоянной:

.

Учитывая, что , приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Его общее решение . В него входит и решение (получается при ).

Ответ.  .

9. Материально-техническая база, необходимая для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)

Наименование оборудованных учебных кабинетов, объектов для проведения практических занятий	Перечень основного оборудования
Кабинет лекционных занятий, Аудитория № 13, корпус естественнонаучного факультета, просп. Ленина, 49а	Ноутбук, проектор, доска, учебная мебель.