ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

I семестр

1.         Матрицы. Действия с матрицами. Свойства операций. Примеры.

2.        Определитель n-го порядка. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков. Разложение определителя по строке или по столбцу.

3.        Свойства определителя n-го порядка.

4.        Обратная матрица.

5.        Матричная запись системы линейных уравнений. Основные понятия.  Методы решение системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

6.        Матричная запись системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса.

7.        Вектора и операции над ними, свойства операций.

8.        Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.

9.         Вектор-проекция и проекция вектора на ось, основные свойства.

10.        Декартова система координат. Единственность разложение вектора по базису. Действия с векторами, записанными в координатной форме. Направляющие косинусы и их основное свойство.

11.        Скалярное произведение векторов, свойства, геометрическое приложение, вычисление через координаты.

12.         Векторное произведение векторов, свойства, геометрическое приложения, вычисление через координаты.

13.        Смешанное произведение векторов, свойства, геометрическое приложение, вычисление через координаты.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

14.         Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, изменение масштаба.

15.         Деление отрезка в заданном соотношении, расстояние между двумя точками, площадь треугольника. Уравнение линии, параметрическое уравнение линии.

16.         Прямая линия на плоскости. Различные типы уравнений.

17.        Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

18.        Эллипс, его свойства и характеристики.

19.        Гипербола, его свойства и характеристики.

20.        Парабола, его свойства и характеристики.

21.        Плоскость в пространстве. Различные типы уравнений.

22.        Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

23.         Прямая линия в пространстве. Различные типы уравнений.

24.        Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

25.        Расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми в пространстве.

26.         Прямая и плоскость: точка пересечения, угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности.

27.         Простейшие поверхности второго порядка.

28.        Полярные координаты, их связь с декартовой системой координат.

29.         Алгебраическая запись комплексного  числа, операции над комплексными числами в алгебраической форме.

30.        Многочлены и операции над ними, свойства операций. Деление многочлена с остатком.

31.        Корни многочленов. Теорема Безу. Целые и рациональные корни многочлена.

32.        Основная теорема алгебры и ее следствия. Неприводимые многочлены.

33.         Рациональная дробь. Разложение неправильной рациональной дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших.

2 семестр

Числовые функции. Область определения и область значения функции. Способы задания функций. Основные  элементарные характеристики функций. Операции над функциями. Сложная функция. Обратная функция. Графики и свойства элементарных функций. Предел функции в точке и на бесконечности. Эквивалентность определений. Примеры функций, не имеющих предела. Ограниченность функции, имеющей предел функции в точке. Единственность предела. Односторонние пределы. Теорема о связи односторонних пределов и предела функции в точке. Бесконечно малые функции. Специальное представление для функции, имеющей предел. Свойства бесконечно малых функций. 41.        Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.        Теоремы о  пределе сумму и произведении функций. Теоремы о пределе разности и отношения функций. Переход к пределу под знаком неравенства для функций. Теорема о двух милиционерах.        Основные и замечательные пределы.        Правила сравнения бесконечно малых функций.  Теорема о порядке произведения двух бесконечно малых функций. Асимптоты графика функции. Производная функции в точке, ее определение, геометрический смысл. Уравнение касательной. Производная функции в точке, ее определение, физический  смысл. Свойства производной. Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций. Таблица производных. Теорема Ролля. Теорема Ферма. Теорема Лагранжа и ее следствие. Необходимое и достаточное условия монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Необходимое и достаточное условия вогнутости. Необходимое и достаточное условия точек перегиба. Правила Лопиталя. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Метод интегрирования разложением. Интегрирование методом подстановки. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование методом подстановки и по частям для определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения. Несобственные интегралы, их виды и условия сходимости.

3 семестр.

n-мерное арифметическое пространство. Понятие функции нескольких переменных. Понятие предела функции и его свойства. Пределы и непрерывность функции двух переменных. Частные приращения. Частные производные и их свойства. Частные производные высших порядков. Смешанные производные и условия их равенства. Экстремумы функций двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Функции многих переменных, их геометрическое изображение. Предел функции двух переменных. Примеры. Непрерывность функции двух переменных. Критерий непрерывности. Свойства непрерывных функций. Примеры. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия. Дифференцируемость и непрерывность  функции двух переменных. Полный дифференциал функции двух переменных, его геометрический  смысл. Применение в приближенных вычислениях и оценки погрешности.  Дифференциалы высших порядков Теорема о производной сложной функции от двух переменных и ее следствия.  Производная  неявной функции. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в  области. Производная по направлению. Примеры. Градиент функции. Примеры. Метод наименьших квадратов. Двойной интеграл и его свойства, его геометрический смысл. Условия интегрируемости  функций. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах.  Примеры. Замена переменной в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных  координатах Примеры. Интеграл Эйлера-Пуассона. Приложение двойного интеграла. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Начальные условия, задача Коши и условия существования ее решения.                         Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными                                 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, метод их решения.                 Дифференциальные уравнения Бернулли, метод их решения.                                 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Начальные условия, задача Коши и условия существования ее решения. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка, методы их решения. Линейно-зависимые функции. Определитель Вронского. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости решений линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Структура общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, метод их решения. Структура общего решения линейных неоднородных уравнений 2-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.                         Случайные события, их виды и операции над ними. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Теорема сложения для совместных и несовместных событий. Условная вероятность. Теорема умножения для зависимых и независимых событий. Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа, условия их применения.                 Асимптотическая формула Пуассона, условия ее применения.                         Случайные величины, их виды и закон распределения.                         Математическое ожидание дискретной случайной величины, его смысл и свойства.         Дисперсия дискретной случайной величины, ее смысл и свойства. Среднее квадратическое отклонение.                         Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность и их свойства. Математическое ожидание и дисперсия для непрерывных величин.                         Нормальный закон распределения, его плотность и смысл его параметров                 Закон больших чисел. Неравенство Маркова                         Теорема Чебышева, ее значение                         Следствие предельной теоремы Ляпунова, его значение.                         Основная цель математической статистики. Выборочный метод, его основные понятия. Репрезентативность выборки и методы ее получения. Дискретный вариационный ряд. Полигон. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма.                 Точечные статистические оценки и их виды: несмещенные, эффективные, состоятельные. Генеральная средняя и выборочная средняя, их взаимосвязь. Генеральная дисперсия и выборочная дисперсия, их взаимосвязь. Исправленная дисперсия.