XXIII Открытая городская олимпиада школьников по математике
класс.
Огород имеет вид клетчатого квадрата 7×7 клеток. Грядка хрена занимает две клетки, соседние по вертикали, а грядка редьки - две клетки, соседние по горизонтали. Садовник хочет посадить n грядок хрена и n грядок редьки. При каком наибольшем n ему удастся это сделать?
Решение. Поскольку все грядки занимают 4n клеток, должно выполняться неравенство 4n < 49, откуда n ≤ 12. Пример с n = 12 приведён на рисунке.
Известно, что в понедельник маляр красил вдвое медленнее, чем во вторник, среду и четверг, а в пятницу — вдвое быстрее, чем в эти три дня, но работал 6 часов вместо 8. В пятницу он покрасил на 300 метров забора больше, чем в понедельник. Сколько метров забора маляр покрасил с понедельника по пятницу?
Решение. Примем за 1 длину забора, которую маляр красил во вторник, среду и четверг. Тогда на понедельник приходится Ѕ, а на пятницу – 1 1/2. Значит, 300 метров забора соответствуют 1. За всю неделю (с понедельника по пятницу) – 5 единиц, т. е. 1500 метров.
За билетами на концерт стояла очередь школьников. Из подошедшего автобуса в очередь к знакомым влезло ещё несколько школьников так, что между каждыми двумя соседями влез один человек. То же случилось с новой очередью, когда подошёл ещё один автобус. Так же увеличилась очередь ещё после двух автобусов. Теперь в ней стоят 177 человек. А сколько человек было в очереди перед приходом первого автобуса?
Решение. Промежутков в очереди на 1 меньше, чем людей. Поэтому каждый раз добавляется на одного человека меньше, чем было. Такого увеличения можно добиться иначе: добавить столько, сколько было (то есть удвоить), а затем одного человека выгнать (вычесть 1). Обратная операция – это добавить 1 и разделить на 2. Е е надо проделать 4 раза, начав с числа 177. Получим (177+1)/2 = 89, (89+1)/2 = 45, (45+1)/2 = 23, (23+1)/2 = 12.
В таблицу 3х3 записаны числа. Сумма трёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 111. Найдите число в центральной клетке таблицы.
Решение.
Сложив суммы трёх столбцов, что сумма всех записанных чисел равна 333. Сложим теперь все ряды, проходящие через центр. Их 4: строка, столбец и две диагонали. Сумма равна 444. В неё центральное число входит четырежды, а остальные – ровно по разу. Три экземпляра центрального числа дают избыток в 444-333=111. Значит, центральное число равно 111:3=37.
Братья нашли клад из золота и серебра. Они разделили его так, что каждому досталось по 100 кг. Старшему досталось больше всего золота — 30 кг — и пятая часть всего серебра. Сколько золота было в кладе?
Решение. 1) Старший брат получил 70 кг серебра, что является пятой частью общего количества; значит, общая масса серебра равна 350 кг. 2) Остальные получили больше серебра, чем старший, т. е. каждый — больше 70 кг. Если братьев хотя бы пятеро, то в сумме они получат больше 350 кг; значит, братьев не больше чем четверо. 3) Но хотя бы четверо их должно быть, т. к. масса серебра превышает 300 кг. Значит, братьев четверо. 4) Общая масса клада 400 кг, поэтому масса золота 400-350=50 кг.
Чипполино устроился садовником к графине Вишне. Графиня установила для него повременную форму оплаты труда, при которой тарифная ставка в час составляла 3 монеты. Чипполино работал несколько дней по 6 часов, а несколько дней — по 8 часов, и заработал 78 монет. Сколько дней он мог работать по 6 часов?
Решение.
Так как в час Чипполино зарабатывал по 3 монеты и всего заработал их 78, то он отработал 26 часов. Пусть a — количество дней, в которые Чипполино работал по 6 часов, b — количество дней, в которые он работал по 8 часов. Тогда
6a + 8b = 26.
Из этого следует, что
3a + 4b = 13.
Значит, выражение 4b может быть равно 0, 4, 8 или 12, то есть b равно 0, 1, 2 или 3. Рассмотрим все возможные случаи для значения b:
b = 0 ⇒ 3a + 4 · 0 = 13 ⇒ 3a = 13
b = 1 ⇒ 3a + 4 · 1 = 13 ⇒ 3a = 9
b = 2 ⇒ 3a + 4 · 2 = 13 ⇒ 3a = 5
b = 3 ⇒ 3a + 4 · 3 = 13 ⇒ 3a = 1
Только во втором случае a принимает целое значение, равное 3. Таким образом, Чипполино мог работать по 6 часов 3 дня.
В замке поселились два привидения. Одно из них поёт, а другое хохочет. В течение каждой минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Поведение же их в последующую минуту зависит от предыдущих событий следующим образом: Пение в последующую минуту ведёт себя так же, как и в предыдущую, если только в предыдущую минуту не было игры на органе при молчащем смехе. В противном случае оно меняет своё поведение на противоположное. Если в предыдущую минуту горела свеча, то Смех будет звучать, если звучало Пение, и молчать, если Пение молчало. Если свеча не горела, то Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение. В настоящий момент Смех и Пение оба звучат. Какие действия со свечой и органом нужно совершить, чтобы установить и поддерживать тишину в замке?
Решение.
Через минуту Смех замолчит, так как он должен делать противоположное тому, что делало Пение. Когда Смех замолчит, нужно играть на органе. Тогда через минуту замолчит Пение. Если на органе больше никогда не играть, Пение всегда будет молчать. Теперь нужно зажечь свечу и не гасить её, и тогда Смех тоже замолчит и будет молчать, пока горит свеча и молчит Пение. Пока не погаснет свеча, в замке будет царить тишина.
В начале года в магазине «Сделай сам» винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене. 30 февраля цены на винтики повысились на 50%, а цены на шпунтики понизились на 50%. 31 февраля цены на винтики понизились на 50%, а цены на шпунтики повысились на 50%. Какой товар будет самым дорогим в марте? Ответ объясните.
Решение. Пусть х рублей первоначальная цена, тогда 30 февраля винтики стали стоить 1,5х рублей. 31 февраля винтики стали стоить 0,5·1,5х=0,75х рублей шпунтики1,5·0,5х=0,75х рублей. Соответственно, гаечки по цене х рублей за 1 кг остались самыми дорогими.
Вычислите значение произведения 77Ч99…9 (2018 девяток).
Решение. 77Ч99…9=77Ч(100…0 − 1)=7700…0 − 77=7699…923 (2016 девяток).
Разместите в квадрате 10Ч10 как можно больше фигур-скобок, изображённых на рисунке.
Решение.
Наибольшее число скобок — 16. 17 скобок разместить нельзя, так как они «занимают» 102 клетки.
В ряд выписаны цифры 987654321. Поставьте между ними ровно два знака минус так, чтобы значение полученного выражения было минимальным. (Например, при расстановке 9876-54-321 получается 9501).
Решение. 9-8765432-1
Умная девочка Маша читает научно-познавательную книжку, все страницы подряд. Вчера Маша прочитала 9 страниц, а сегодня только 6. Оказалось, что сумма номеров страниц, прочитанных вчера равна сумме номеров страниц, прочитанных сегодня. На какой странице Маша сегодня закончила чтение книжки?
Решение.
Пусть n — номер последней прочитанной страницы. По условию n+(n–1)+…+(n–5) = (n–6)+…+(n–14). Приводя подобные члены, получаем уравнение 3n–75 = 0, откуда n = 25.
Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых все цифры различны, первая цифра делится на 2, а сумма первой и последней цифр — делится на 3.
Решение.
Первая цифра может быть 2, 4, 6 или 8. Если первая 2, то последняя 1,4,7; если первая 4, то последняя 2,5,8; если первая 6, то последняя 0,3,(6 не подходит),9; если первая 8, то последняя 1,4,7. Итого 3+3+3+3=12 вариантов для первой и последней цифр. Для каждого из этих вариантов существует 8∙7 способов выбрать две средних цифры. Итого 56∙12=672 способа.
В треугольнике ABC∠B = 30°, ∠C = 20°. Точки D и E на сторонах BC и AC соответственно таковы, что AC = DC, EC = BD. Найдите ∠EBC.
Решение. Отложим на продолжении стороны CA отрезок AF = EC. Поскольку CF = CA+AF = CD+DB = CB, ∠CBF = ∠CFB = (180°–∠С)/2 = 80°. Рассмотрим равносторонний треугольник EBG, у которого вершина G лежит с той же стороны от прямой BF, что и точка C. Заметим, что ∠ABF = ∠CBF –∠ABC = 50° и ∠FAB = 180° – ∠AFB – ∠ABF = 50° = ∠ABF, откуда FB = AF и GB = FB = AF = CE. Следовательно, треугольники CEB и CGB равны (CE = BG, CB = BC, ∠CBG = ∠CBF – ∠GBF = 20° = ∠C). Осталось заметить, что ∠CGB = ∠CGF = (360°–∠FGB)/2 = 150°, откуда ∠CEB = ∠CGB = 150° и ∠EBC = 180° – ∠CEB – ∠C = 10°.
Болельщики Спартака говорят правду, когда Спартак выигрывает, и лгут, когда он проигрывает. Аналогично ведут себя болельщики Динамо, Зенита и Локомотива. После двух матчей с участием этих четырёх команд, каждая из которых закончилась победой одной из команд, а не ничьей, из болельщиков, смотревших трансляцию, на вопрос «болеете ли вы за Спартак?» положительно ответили 200 человек, на вопрос «болеете ли вы за Динамо?» положительно ответили 300 человек, на вопрос «болеете ли вы за Зенит?» положительно ответили 500 человек, на вопрос «болеете ли вы за Локомотив?» положительно ответили 600 человек. Сколько человек болело за каждую из команд?Решение.
Пусть за победившие команды болеют x и y человек, за проигравшие z и t. Тогда на вопросы про эти команды ответило x+z+t, y+z+t, t, z человек соответственно. Значит, за Зенит болеет 200 человек, за Локомотив 300, за Спартак никто, а за Динами 100 человек.
Ровно в 20:16 два муравья начали ползти по дорожке навстречу друг другу. Они встретились, когда первый муравей прополз ровно треть всей дорожки. На следующий день первый муравей начал ползти по той же дорожке в 20:15, а второй навстречу ему в 20:17, и они встретились, когда первый муравей прополз половину дорожки. Какую часть всей дорожки успеет проползти до встречи первый муравей, если на третий день он начнёт ползти в 20:16, а второй навстречу ему в 20:15?
Решение.
Из первых двух фраз решения следует, что второй муравей ползёт вдвое быстрее первого. Поэтому первый муравей во второй день прополз с 20.17 до момента встречи со вторым вдвое меньше второго, то есть 1/4 отрезка. Значит, скорость первого муравья - 1/8, а второго - 1/4отрезка в минуту. Стало быть, на третий день второй муравей за первую минуту проползёт 1/4 дорожки, а потом до встречи со первым - 2/3 от оставшихся 3/4 дорожки, то есть 1/2, а всего - 1/4+1/2 = 3/4 дорожки, а первый - 1/4.
На доске записана серия дробей вида
…. Сколько из этих дробей являются целыми числами? Решение.
Дробь 
будет целым числом тогда, когда 2000 делится на N. Из чисел 1,2,3,…..18 делителями числа 2000 являются числа 1,2,4,5,8,10,16 – всего 7 чисел. Значит 7 дробей являются целыми числами.
В ряд стояли 100 детей: 25 девочек и 75 мальчиков. Каждый ребёнок дал каждому из стоящих правее него по одному ореху. Могло ли после этого общее количество орехов у девочек увеличиться ровно на 500?
Решение.
Ребёнок, стоящий в ряду k-ым справа, отдал k-1 орех, а получил 100-k, то есть число орехов у него изменилось на 101-2k. Значит, у каждой девочки количество орехов изменилось на нечётное число, а тогда и у 25 девочек в сумме изменение числа орехов нечётно, и 500 равняться не может.
Лев взял два натуральных числа, прибавил их сумму к их произведению и в результате получил 1000. Какие числа мог взять Лев? Найдите все варианты.
Решение.
Если обозначить числа Льва через a и b, то получим: a+b+ab=1000. Прибавим к обеим частям единицу: 1+a+b+ab=1001, или (1+a)(1+b)=7∙11∙13. Поскольку a и b натуральны, то 1+a>1 и 1+b>1. Отсюда следует, что выполняется один из шести вариантов: а) 1+a=7, 1+b=11∙13, откуда a=6, b=142; б) 1+a=11, 1+b=7∙13, откуда a=10, b=90; в) 1+a=13, 1+b=7∙11, откуда a=12, b=76; и ещё три варианта, которые получаются при замене a и b. Ответ: 6 и 142, 10 и 90, 12 и 76.
Через точку внутри квадрата проведены прямые, параллельные его сторонам и диагоналям. Докажите, что сумма площадей белых частей равна сумме площадей серых частей.
Решение.
Продолжим прямые, параллельные диагоналям квадрата, до пересечения с продолжениями его сторон. Получится много равнобедренных прямоугольных треугольников, которые попарно равны. Покрасим достроенные части этих треугольников так, чтобы каждые два равных треугольника были разных цветов. Теперь очевидно, что сумма площадей белых частей равна сумме площадей серых частей. А достроенные треугольники (их четыре) тоже разбиваются на две пары равных, причём в каждой паре треугольники разноцветные. Поэтому сумма площадей белых частей равна сумме площадей серых частей и в исходном разбиении.
