м
Исследовательская работа по математике
ученика 5 «С» класса ГБОУ СОШ № 000
Шумилина Романа
Тема: «Математика на шахматной доске»
2017 год
Содержание:
Вступление ………………………………………………………….3
Задачи на разрезание …………………………………………4
Теорема Пифагора ………………………………………………5
Задачи про покрытие доски домино ………………….5
Математика в шахматах ……………………………………..6
Заключение …………………………………………………………8
Вступление
У шахмат и математики много общего. Считается, что у человека, играющего в шахматы, математический склад ума. Это далеко не всегда так, однако многие известные шахматисты действительно обладали хорошими математическими способностями. Например, второму чемпиону мира Эммануилу Ласкеру принадлежит ряд серьезных математических результатов, а Макс Эйве возглавлял крупный вычислительный центр в Голландии.
Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрирования математических идей и понятий. Существует и много игр и головоломок с использованием шахмат. В то же время, в самой игре нередко возникают любопытные геометрические мотивы.
В этой работе я хочу рассмотреть примеры использования шахмат в математике, а также математики в шахматах.
Задачи на разрезание
Среди самых распространенных задач на шахматной доске – задачи на разрезание.
Одна из них связана с легендой о четырёх алмазах.
Один восточный властелин был очень сильным игроком в шахматы. За всю свою жизнь он проиграл всего 4 партии. В честь своих победителей он велел вставить в доску четыре алмаза, по одному на каждом поле, где ему был поставлен мат. После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить им. Он приказал игрокам разрезать доску на одинаковые части, чтобы в каждой из них было по одному алмазу. Игроки разрезали её так, как показано на рисунке.
♘ |
♘ |
♘ |
♘ |
Хотя они и выполнили требование, новый властелин всё равно их казнил. Причем использовал для казни каждого из них его часть доски с алмазом.
Эта легенда положила начало целому классу задач на разрезание шахматной доски.
Одна из наиболее понравившихся мне задач – это парадокс с помощью которого можно доказать что 64 равняется 65.
Разгадка парадокса кроется в том, что чертёж выполнен не совсем точно. Если сделать его более точным, то можно увидеть еле заметный для глаз параллелограмм. Его площадь равняется площади лишней клетки.
Теорема Пифагора
Также на шахматной доске можно доказать теорему Пифагора. Для этого разрежем шахматную доску следующими двумя способами.
В обоих случаях площади треугольников равны, значит, площади оставшихся фигур также равны.
Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие - на его катетах значит квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Задачи про покрытие доски домино
Существует также немало задач, связанных с возможностью покрытия досок разного размера и разной формы домино, представляющими собой прямоугольники 2х1.
Можно ли полностью закрыть квадрат 8х8 без противоположных угловых клеток такими костями?
Оказывается, решение этой задачи очень простое, если раскрасить эту фигуру в цвета шахматной доски. Каждая кость покрывает 1 поле белого цвета и 1 чёрного (поле a1 и h8 чёрного цвета), значит кости не смогут покрыть доску, так как двух полей чёрного цвета не хватает, поэтому белых полей – 32, а черных – 30.
Можно доказать, что если из шахматной доски убрать любые два поля разного цвета, то такую доску все равно можно полностью покрыть домино. Для этого проведем такую замкнутую линию, как на рисунке.
Если убрать находящиеся рядом по ходу линии поля, то мы получим незамкнутую линию с четным количеством полей, начинающуюся с черного поля и заканчивающуюся белым. В таком случае можно расположить домино вдоль линии, таким образом мы покроем всю доску. Если же поля находятся не рядом, то мы получим две такие линии. В каждой будет одинаковое количество белых и черных полей. Точно так же размещая домино вдоль этих линий, мы получим полностью покрытую доску.
Математика в шахматах
Выше я рассмотрел некоторые математические задачи, которые можно решить с помощью шахмат. Но и в игре шахматисты часто используют математику.
Прежде всего, считается, что каждая фигура имеет свою ценность. Если ценность пешки принять за единицу, то можно установить ценность каждой фигуре. Считается, что слон и конь «стоят» примерно по 3 пешки, ладья – 5, ферзь – 9-10. Общая стоимость находящихся на доске фигур является одним из главных факторов в общей оценке позиции.
Самые красивые примеры математики в шахматах связаны с геометрией шахматной доски.
Например, начальная позиция у игроков симметрична. Но повторять ходы за соперником, не нарушая симметрию, очень невыгодно. В таком случае повторяющая сторона проиграет.
Самый яркий пример математики в шахматах – это правило квадрата.
Правило квадрата – это правило, с помощью которого шахматист может определить проходит пешка в ферзи (пешка идёт только вперёд) или король её догоняет.
♙ |
♚ |
♔ |
Квадрат пешки строится со стороной, равной количеству оставшихся до превращения горизонталей, включая ту, на которой пешка стоит. На рисунке выше это число 4. Квадрат пешки отмечен красным цветом. При любой очереди хода черный король не попадает в квадрат, а значит, белая пешка беспрепятственно проходит «в ферзи».
Часто в шахматах используется необычная геометрия доски и неожиданные свойства фигур. Например, всем известно, что кратчайшее расстояние между двумя точками – это прямая. Однако в шахматах это не всегда так. На этом свойстве основываются такие приемы, как «отталкивание плечом» и др. Проиллюстрировать это свойство может один из самых известных шахматных этюдов.
Кажется, что белые уже никак не могут догнать черную пешку. Действительно, до квадрата пешки, отмеченного на рисунке синим цветом, королю нужно 3 хода. Но умело сочетая две угрозы, белые догоняют пешку. Маршрут белого короля показан красным цветом. Любопытно, что дойти до поля h2 король может двумя разными путями, которые с точки зрения математики вовсе не равны, однако в шахматах на эти маршруты требуется одинаковое количество ходов.
1.Крg7 h4 2. Крf6 Крb6 (если 2…h3, то белые успевают помочь своей пешке пройти в ферзи: 3. Кре7 h2 4. c7 Крb7 5. Крd7 и пешки становятся ферзями одновременно) 3. Кре5 Крс6 (опять в случае 3…h3 пешки пройдут одновременно) 4. Крf4 и король в квадрате пешки.
Заключение
В этой работе я рассмотрел несколько интересных математических задач, для решения которых используются шахматы. В то же время я показал несколько примеров того, как шахматисты могут использовать в своей игре некоторые математические приемы. Это говорит о тесной связи шахмат и математики.
