Исследовательская деятельность «Производная» в общеобразовательных классах и в классах с углубленным изучением математики (стр. 3 )

Глава II. Методика изучения темы «Производная» в классах с углубленным изучением математики.

Различные подходы к изложению темы «Производная» в классах с углубленным изучением математики.

(профильный уровень)

I. Изучение темы «Производная» начинается с рассмотрения физической задачи (на вычисление мгновенной скорости прямолинейного движения).

II. Выясняется, что будет пониматься под касательной к произвольной плоской кривой.

Дана кривая L (рис. учебник) на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М – точку Р. Проведем секущую МР. Далее будемприближать точку Р по кривой L к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некоторое предельное положение секущей; эту прямую – предельное положение секущей – называю касательной к кривой L в точке М.

III. Рассматривается задача о касательной к графику функции. В процессе решения задачи на скорость и задачи на касательную пришли к новой математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. В учебнике вскользь сказано о том, что многие задачи из других областей знаний приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучать, т. е.:

присвоить ей новый термин; ввести для нее обозначение; исследовать свойства новой модели.

IV. Определение производной.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение Дх, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности.

Найдем соответствующее приращение функции Ду и составим отношение . Если существует предел этого отношения при условии Дх→0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке х и обозначают f'(x).

Итак,

V. Физический (механический) смысл производной: если s(t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v=s'(t).

Геометрическая смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной: k=f'(a).

VI. Истолкование определения производной с точки зрения приближенных равенств.

VII. Дается пяти-шаговый алгоритм отыскания производной. Затем рассматриваются два примера на использование этого алгоритма.

VIII. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, название операции нахождения производной.

IX. Обсуждается вопрос: как связаны между собой два достаточно тонких свойства функции – непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

X. Выясняется – как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции.

XI. Даются формулы дифференцирования, найденные по определению производной: С'=0, (х)'=1, (kx+m)'=k, (х2)'=2х, , (x>0), (sinx)'=cosx, (cosx)'=–sinx. После вводятся правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, вынесения множителя за знак производной, в результате которых выводятся формулы производных для тангенса и котангенса. На интуитивном уровне определяется формула для дифференцирования степенной функции.

XII. Дается понятие второй, третьей производной и производной n-ого порядка. Делается вывод, что ускорение есть вторая производная координаты по времени, а это является механическим смыслом второй производной.

XIII. Дается определение композиции (сложной функции). Выводится формула для нахождения производной сложной функции. Вычисляется производная для функции у=f(kx+m), а также формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций – арксинус и арккосинус.

XIV. Выводится уравнение касательной к графику функции в точке. Предоставляется алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

XV. Определяется в процессе рассуждений смысл приближенных вычислений.

XVI. Применения производной: для исследования функции на монотонность (связь между характером монотонности и знаком ее производной); для доказательства тождеств и неравенств; для построения графиков функций.

Формулируются: признак возрастания (убывания) функции, определение критической точки функции, признак максимума и минимума (экстремумы), теорема о постоянстве функции; теорема о нахождении точек максимума и минимума.

Вводятся понятия горизонтальной и вертикальной асимптот. Приводятся алгоритмы: исследования функции на монотонность и экстремумы; исследования функции и построение ее графика; нахождения наименьших и наибольших значений непрерывной функции на промежутке.

XVII. Рассматриваются задачи на оптимизацию.

XVIII. После изучения логарифмической и показательной функций, определяется их производная.

К учебнику прилагается соответствующий задачник. Он содержит два блока системы упражнений, выстроенных по каждой теме: первый блок состоит из базового уровня (никак не отмечен) и среднего уровня трудности (отмечен белым кружком), второй блок – из дополнительных заданий среднего уровня и заданий повышенной трудности(отмечены черным кружком). Количество задач представлено в достаточном и даже избыточном объеме, что дает возможность реализовать уровневую дифференциацию на уроке.

Итоги анализа. Изложение темы «Производная» представлено на наглядно-интуитивном, рабочем и формально-логическом уровне. Определение производной дается с использованием понятия предела, которое вводится перед изучением данной темы на наглядно-интуитивном уровне.

Материал в учебнике [29] излагается доступно с большим числом подробно решенных примеров. Большинство проводимых рассуждений не претендует на формальную строгость, а являются лишь правдоподобными рассуждениями. Приоритет отдается функционально-графической линии.

I. Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия приращения функции и формулировки правила его вычисления.

Потом рассматриваются дифференцируемые функции. При помощи предела дается определение дифференцируемой функции в точке. На примере доказываются дифференцируемости функций х2 и х3. Рассматривается пример на прямолинейное движение, которое задано формулой х=kt+х0. Потом выясняется, что k выражает как скорость движения, так и угловой коэффициент графика этого движения.

Доказывается теорема о дифференцируемости функции при существовании предела

.

Определение производной.

Определение: Производной функции f называется функция f', значение которой в точке х выражается формулой:

.

После введения определения производной через предел, дается трехшаговое правило нахождения производной по определению: найти выражение для приращения f(х+h)–f(х) функции f; разделить это выражение на приращение аргумента h; найти предел полученного отношения при h→0. Выводятся формулы для отыскания производных следующих функций: (kx+b)'=k, (х2)'=2х, (х3)'=3х2.
Вводится понятие дифференциала функции. Формулируется понятие дифференциала функции df=f'(х)dx. На основании этого формулируется определение вычисления приближенного значения функции. На примере задачи определяется мгновенная скорость. Рассматривается пример с радиоактивным распадом и выясняется, что производная есть мгновенная скорость изменения функции. Рассматривается пример, в котором формулируется определение касательной: «Касательной прямой к кривой Г в точке А называют предельное положение секущей АМ, когда точка М приближается по кривой к точке А» (геометрический смысл производной). Выводится уравнение касательной: у=f(х0)+f'(х0)(х–х0). Рассматривается связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Формулируется соответствующая теорема. Вводятся правила дифференцирования: линейной комбинации функции, вынесения общего множителя за знак производной, производной суммы, произведения, дроби, степенной функции. Формулируются и доказываются соответствующие теоремы. Определяется вторая производная f''=(f')', что означает ускорение изменения данной функции. Дается определение производной высшего порядка. Рассматривается применение производной: для нахождения экстремумов; для отыскания наибольших и наименьших значений функции на отрезке; для исследования функций на возрастание и убывание.

Даются определения: максимума и минимума функции. Определяется правило отыскания наибольших и наименьших значений функции на отрезке.

Формулируются и доказываются теоремы: о знаке приращения; о точке экстремума; о непрерывности функции на отрезке; о достаточном условии экстремума.

Формулируется теорема Лагранжа и ее следствия. Применение производной: для исследования графиков функций на выпуклость и отыскания точек перегиба; для доказательства неравенств.

Доказываются соответствующие теоремы и следствия.

Предлагается схема построения графиков функций, включающая в том числе точки разрыва, асимптоты, исследование на выпуклость и нахождение точек перегиба. Изучается бином Ньютона (а+х)n. Запись бинома Ньютона через факториал. Изучается некоторые свойства биноминальных коэффициентов. Для повышенного уровня изучения представлены приложения бинома Ньютона для приближенных вычислений, а также приближенное решение уравненийметодом хорд и касательных (отмечены звездочкой). После изучения тригонометрических функций, даются их производные и производные обратных тригонометрических функций. Изучается дифференцирование композиции функции. После изучения показательной и логарифмической функций, выводятся формулы их дифференцирования. Рассматривается дифференциальное уравнение процессов органического изменения.

Итоги анализа. Понятие производной вводится на основе определения предела, которое изучается ранее. Все определения, теоремы, следствия имеют доказательства. Терминология имеет строгую формулировку, строгую доказательную структуру, более других учебников приближен к первым разделам вузовского курса математического анализа.