Тема: «Математическая обработка экспериментальных данных»

ОКРУЖНАЯ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

СЕКЦИЯ:№_ «_____________________________________»

ТЕМА: «Математическая обработка экспериментальных данных»

Учитель физики

(с. Старое Эштебенькино

ГБОУ СОШ «ОЦ»)

2013 г.

Оглавление

Регрессиомнный (линейный) анализ.        3

Цели регрессионного анализа        3

Математическое определение регрессии        3

Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)        4

Интерпретация параметров регрессии        5

Приложение 1.        6

Литература        12

Регрессиомнный (линейный) анализ.

Регрессиомнный (линейный) анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными) Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых) Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

Математическое определение регрессии

Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть , — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений определено условное математическое ожидание

(уравнение линейной регрессии в общем виде),

то функция называется регрессией величины Y по величинам , а её график — линией регрессии по , или уравнением регрессии.

Зависимость от проявляется в изменении средних значений Y при изменении . Хотя при каждом фиксированном наборе значений величина остаётся случайной величиной с определённым рассеянием.

Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении , используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M — объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда .

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная система является системой линейных уравнений с неизвестными

Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

Для получения наилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условий Гаусса−Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) − наилучшие линейные несмещенные оценки.

Интерпретация параметров регрессии

Параметры являются частными коэффициентами корреляции; интерпретируется как доля дисперсии Y, объяснённая , при закреплении влияния остальных предикторов, то есть измеряет индивидуальный вклад в объяснение Y. В случае коррелирующих предикторов возникает проблема неопределённости в оценках, которые становятся зависимыми от порядка включения предикторов в модель. В таких случаях необходимо применение методов анализа корреляционного и пошагового регрессионного анализа.

Говоря о нелинейных моделях регрессионного анализа, важно обращать внимание на то, идет ли речь о нелинейности по независимым переменным (с формальной точки зрения легко сводящейся к линейной регрессии), или о нелинейности по оцениваемым параметрам (вызывающей серьёзные вычислительные трудности). При нелинейности первого вида с содержательной точки зрения важно выделять появление в модели членов вида , , свидетельствующее о наличии взаимодействий между признаками , и т. д (см.Мультиколлинеарность).

Для выполнения регрессиомнного (линейного) анализа можно воспользоваться специальной программой Advanced Grapher

С помощью этой программы можно исследовать на линейность прямолинейное равномерное и равноускоренное движения, Закон Ома для участка цепи. (см приложение 1)

Приложение 1.

Исследование прямолинейного  равномерного движения.

Прямолинейное равномерное движение изучается на уроках физики в 7, 9 и 10 классах. Для изучения темы собираем установку, состоящую из штатива, электромотора  со шкивом для крепления нити, нити, груза, доски, блока питания ВС-24 с проводами, секундомера с датчиками и компьютер с программой Advanced Grapher.

Лабораторный электродвигатель создает равномерную тягу. Неравномерность наблюдается только в начале движения из-за чего график функции движения не пройдет через начало координат. Секундомер с датчиками фиксирует время движения между двумя датчиками по лабораторной доске.

По оси ОХ вводим показания секундомера в секундах, а по ОУ – расстояние между датчиками в метрах. Отодвигая второй датчик по 5 см, повторяем опыт с одинаковым напряжением и тягой двигателя. Данные заносим в таблицу ввода данных программы.

Подготавливаем координатную плоскость программы под наш эксперимент. По оси ОХ обозначаем время в секундах от  0 до 1 секунды с ценой деления 0,05 с и обозначением шкалы через 0,1 с. По оси ОУ - расстояние между датчиками в метрах от 0 до 0,5 м с ценой деления 0,025 м и обозначением шкалы через 0,05 м. Точки наносим кругами с максимальным размером. По расположению точек видно, что они располагаются  по прямой.

Из уравнения этой прямой видно, что средняя скорость движения тела составляет 0,5 м/с и начальная координата 7 см. Повторим опыт с большим напряжением и с большей скоростью.

Исследование прямолинейного  равноускоренного движения.

Прямолинейное равноускоренное движение изучается на уроках физики в 9 и 10 классах. Для изучения темы собираем установку, состоящую из штатива, груза, доски, секундомера с датчиками и компьютер с программой Advanced Grapher.

Методика измерения аналогичная, как при изучении равномерного движения. Снимаем показания и анализируем данные.

Первая функция имеет большую погрешность, чем вторая  и третья. Третья функция определяет ускорение а=1.19*2=2,38 м/с2, начальную скорость V0=0.12 м/с. Программа позволяет вычислять 1 и 2 производную от уравнения движения. Соответственно уравнение скорости и ускорения.

Изучение закона Ома.

Закон Ома изучается в 8 и 10 классах. Программа Advanced Grapher с демонстрационным оборудованием позволяет проверить линейную зависимость силы тока от напряжения. Для этого графическое поле настраиваться следующим образом. По оси ОХ откладывается сила тока в Амперах, ОУ – Вольтах.

Проводим измерения при положении ползунка в середине, при отклонении влево и вправо.

По этим функциям можно вычислить среднее сопротивление участка цепи. R1=1/0.34=2.94 Ом

R2=1/1.04=0.96 Ом

R3=1/0.19=5.26 Ом

Анализ.

Данная программа наглядно демонстрирует связь физических величин и позволяет оценивать точность физического эксперимента.

Литература

http://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - http://www. /agrapher/ -  Домашняя станица программы Advanced Grapher ,   Физика 9 класс. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2007 г.  М99  Физика : учеб. для 10 кл. обшеоразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / Г. Я. Сотский. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2007. – 366 с. : ил. – ISBN 5-09-015562-3 Физика 8 класс. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2007 г. Физика 7 класс. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2007 г.