Без имени (стр. 5 )

Другими словами, + сложение УЛУ, можно сконструировать, имея ограниченный набор простых элементов.

Мнемоправила

2И:  «1» тогда и только тогда, когда на всех входах действует  «1».

  «0» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «0».

ИЛИ:  «1» -||-||-, когда хотя бы на одном входе действует «1».

  «0» -||-||-, когда на всех входах действует «0».

НЕ:  «1» -||-||-, когда на входе «0».

  «0» -||-||-, когда на входе «1».

И-НЕ:  «1» -||-||-, когда хотя бы на один вход действует «0»

  «0» -||-||-, когда на входе «1»

ИЛИ-НЕ:  «1» -||-||-, когда на всех входах действует «0».

  «0» -||-||-, когда хотя бы на одном входе «1».

И-ИЛИ:  «1» -||-||-, когда на входе действует нечетное количество.

  «0» -||-||-, когда на входе действует четное количество.

И-ИЛИ горит, когда контакт одного из переключателей находится в верхнем положении, а контакт второго в нижнем.

В названии логического элемента первая цифра указывает число входов. Этот коэффициент еще называют коэффициентом объединения.

Обычно логические элементы И, ИЛИ имеют до 8 входов и 1 выход.

Логические элементы могут работать в режимах положительной логики и отрицательной.

В режиме положительной логики, логической 1 соответствует высокий уровень напряжения, а логическому 0 низкий уровень напряжения.

В режиме отрицательной логики, логической 1 соответствует  низкий уровень напряжения, а логическому 0 соответствует высокий уровень напряжения.

Для контактно-релейных схем в режиме положительной логики логической 1 соответствует замкнутый контакт ключа или реле, а логическому 0 – разомкнутый.

Светящийся индикатор (лампочка, светодиод) соответствует логической 1, а несветящаяся логическому 0.

Логические элементы, реализующие в  режиме положительной логики, операции для режима отрицательной логики выполняют операцию ИЛИ и наоборот.

Пример:  2И-НЕ(положительная логика)  <->2ИЛИ – НЕ(отрицательная логика)

Примеры представления логических элементов:

X1        y        X1        y

X2        X2

       = 

X3        X3

X4        X4

Количество выходных состояний логического элемента определяется количеством егот входов:

Пример: 2И: =4 состояния

8И:

Лекция 12

Алгебра логических цепей

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Создателем алгебры логики является Джордж Буль(19 век) в честь которого она называется булевой алгеброй.

Алгебра логики Буля выполняет действия над двузначными числами: 0 и 1 эти числа как мы знаем, характеризуют условия работы логических  цепей или состояние релейных элементов

Постулаты (аксиомы) алгебры логики:

0+0=0  0+1=1  1+0=1  1+1=1

0*0=0  0*1=0  1*0=0  1*1=1

Термины для одной переменной

1)х+0=х

2)х*1=х

3)1+х=1

4)0*х=0

5)х+х=х

Любой теореме соответствует двойственная теорема, получаемая в результате взаимной замены 0 и 1 и операций сложения и умножения – это принцип двойственности

Теоремы доказываются методомперебора так как может принимать только значение 0 и 1 то можно легко проверить истинность теорем:

Х=1 теорема 1. 1+0=1 верно

Х=0 теорема 1 0+0=0 верно и тд.

Важной является теорема 3 где утверждается что если мы прибавляем переменную х к  цифре 1, то в результате получаем 1.

Пример: у=х1+х2+х3+х4+х5

Если известна что какая то из переменных х1-х2 равна 1, то  у=1

Так же важна  теорема 6

Пример: у=х1+х2х3+х1х2х3+х3+х1х2х3> у=х1+х2х3+х3

Теоремы для 2х и 3х переменных :

11.Х+у=у+х

12.Х*у=у*х

13.Х+х*у=х

14.Х(х+у)=х

15.(х+у)у=ху

16.Xy+y=x+y

17.X+y+z=(x+y)+z =x+(y+z)

18.Xyz +(xy)z = x(y+z)

19.ху+ху=х(у+z)

20.(xy)(x+z)=x+yz

22.Xy+yz+zx=xy+zx

23.(x+y)(x+z)= xz+xy

Теоремы 11,12 подтверждают тот факт что в алгебре логики так же как и в обычной алгебре справедливы переместительный и сочетательный законы т. е. при операции + и * можно поменять переменные местами

Теорема 18 соответствует распределительному закону т. е. можно выносить общий член за скобки или раскрывать скобки умножив все переменные в скобках на переменную за скобками.

Для самостоятельного решения

13.х+ху=х(1+у)=х

14.х(х+у)=хх+ху=хху=х(1+у)=х

15.(х+у)у=ху+уу=ху

16.ху+ху=ху+у(х+х)=ху+ух+ух=ху+ух+ух+ух=х(у+у)+у(х+х)х+у

20.(х+у)(х+z)= x+xz+yx+yz =x(1+z)+yx+yz= x+xy+yz=x(1+y)+yz=x+yz

21.(x+y)(y+z)(z+x)=(xy+xz+y+yz)(z+x)=xyz+xyz+ xzz+xzx+yz+yx+xyz+yzx=xyz+xz+yz+yx+yz+yzx*yz(x+1)+yx(1+z)+xz=yz+yx+xz+x*x=y(z+x)+x(z+x)(z*x)(y+x0)

22.xy+yz+zx= xy+yz(x+x)+zx=xy+yzx+yzx+2x=xy(1+z)+2x(1+y)=xy+zx

23.(xy )(x+z)=0+xz+yx+yz=xz+yz(x+x)+yx=x2+yzx+yzx+yx=xz(1+y)+yx(1+z)=xz+yx

Теоремы для nпеременных

В общем виде инверсные  соотношения выражаются теоремой де Моргана

1.(x+y+z+…)= x*y*z*…

2.(x+y+z*…)=x+y+z+…

Обобщая 1и 2 Шеннон предложил запись

3.f(x1,x2,x3…xn,+,*)=f(x1,x2…xn,*,+)

Получаем что инверсия функции получается заменой переменной ее инверсией и одновременной заменой слежения и умножения.

Пример:x(z+wy)+zy=x+(z*(w+y))*(zy)=x+z(w+y)*(z+y)

Понятие инверсий особенно важно для синтеза и преобразования структуры релейных устройств. В двоичных системах для каждой структуры существует другая структура, (альфа) имеет действие, в точности инверсная первой.

Инверсией пользуются для управления функции и схемы релейных цепей

Релейную функцию  f(Xn)n переменных  можно разложить в ряд на основание теоремы разложения :

4.f(x1,x2,…xn)=x1 f(1,x2…xn)+x1*f(0,x2…xn)

5.f(x1,x2…xn)=[x1+f(0,x2…xn)]*[x1+f(1,x2,…xn)]

Если продолжать процесс разложения по каждой переменной т, то получим окончательное полное разложение в ряд.

Пример:f(x, y,z) тогда по теореме 4 :

f(x, y,z)= x*f(1,y, z)+xf(0,y, z)+y*f(x,1,z)+y*f(x,0,z)+ z*f(x, y,1)+z*f(x, y,0)

по теореме 5:

f(x, y,z)=[x+f(0,y, z)]*[x+f(1,y, z)]*[z+f(x, y,0)]*[z+f(x, y,1)].

Из теорем 4 и 5 вытекают дополнительные теоремы которые используют для упрощения релейно-контактных схем:

6.x1+f(x1+x2…xn)=x1*f(1,x2…xn)

7.x1*f(x1,x2…xn)=x1+f(0,x2…xn)

8.x1*f(x1,x2…xn)=x1*f(0,x2…xn)

9.x1+f(x1,x2…xn)= x1+f(1,x2…xn)

Лекция №13

Типовые релейно-контактные схемы

Рассмотрим: основные схемные соединения релейных контактных устройств:

Последовательное соединение

Где х, у - логические релейно-контактные двухполюсники

F-функция проводимости характеризует состояние цепи

Составим таблицу состояний:

х	y	F=X*Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Параллельное соединение

Таблица состояний:

х	у	F=х+у
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Параллельно-последовательное соединение

F= x*y (z+w)

Таблица состояний

x	y	z	w	F=xy (z+w)
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Всем приведенным структурам релейно-контактных схем свойственна двойственность.

Определение 1

Двойственным по отношению к релейному элементу является инверсный ему элемент.

Например, двойственным для замыкающего контакта является размыкающий, и наоборот.

Определение 2

Двойственным логическому элементуNявляется инверсное устройство цепи, в котором разамкнуты, когда в устройстве N цепи замкнуты и наоборот, а последовательное соединение заменено на параллельное.

N= x*y

Двойственный:  n=x+y

По выражению функции проводимости можно построить последовательно параллельную структуру, зная, что умножение означает последовательное соединение, а сложение-параллельное.

Пусть дана F= u+x+y+z

Пусть инверсная функция F=W*X(Y+Z)