Теория по теме «ОКРУЖНОСТЬ»

Элементы окружности

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Длина окружности: C = 2R, R — радиус окружности, D — диаметр.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: S = RІ = DІ/4 .

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора: S=RІб/360˚ .

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Свойства вписанных углов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .

Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

Углы, связанные с окружностью

Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг

: .

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:

.

Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг:

.

Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг:

.

Отрезки, связанные с окружностью

Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

    Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: .

Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки M до центра окружности: .

Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:

.

Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов):

.

Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: .

Окружность, вписанная в многоугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теоремы:

    Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат. Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: , .

Окружность, описанная около четырехугольника

Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Теоремы:

    Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180˚. Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.



Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.


Точка О – центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).


Точка О – центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC=48.

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=78° и ∠OAB=69°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.


Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=112° и ∠OAB=59°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.



Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.


Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен 34. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 17:00. Ответ дайте в градусах.

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность
с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=15.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь
равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=5–√3.

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=107°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Теоремы о площади

    Любой четырехугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей треугольников. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна: S=pr. Если четырехугольник вписан в окружность, то его площадь будет равна

.

    Если диагонали выпуклого четырехугольника равны d1 и d2 и образуют угол, то площадь четырехугольника равна: .

Следствие: Площадь ромба равна:

.

    Площадь квадрата: . Площадь прямоугольника: . Площадь параллелограмма:

  .

    Площадь трапеции:

 

    Площадь треугольника равна:

    Площадь треугольника равна: Формула Герона: Площадь треугольника равна: Площадь треугольника равна:


Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, sinA=0,3. Найдите AB. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD=4, BC=2, а её пло­щадь равна 69. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.


В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 94. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.


Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те его пло­щадь.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см Ч 1 см от­ме­че­ны точки A, B и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до се­ре­ди­ны от­рез­ка BC. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.


На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1Ч1 изоб­ражён ромб. Най­ди­те длину его боль­шей диа­го­на­ли.


Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 7. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции EBCD.


В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, делённую на √3.

Задание №13

Укажите номера верных утверждений.

1)

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

2)

В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3)

Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)

Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3)

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2)

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3)

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2)

Диагонали прямоугольника равны.

3)

У любой трапеции боковые стороны равны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

2)

Диагонали прямоугольника равны.

3)

У любой трапеции основания параллельны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

2)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

3)

У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Диагонали любого прямоугольника равны.

2)

Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.

3)

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2)

Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3)

Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

2)

Сумма смежных углов равна 180°.

3)

Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.

2)

Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.

3)

Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

2)

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует.

3)

Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2)

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3)

Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

3)

Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.

2)

Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3)

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2)

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3)

Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
Какие из следующих утверждений верны?

1)

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

2)

Боковые стороны любой трапеции равны.

3)

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Какое из следующих утверждений верно?

1)

Основания любой трапеции параллельны.

2)

Диагонали ромба равны.

3)

Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Какое из следующих утверждений верно?

1)

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

2)

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

3)

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Какие из следующих утверждений верны?

1)

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

2)

Все углы ромба равны.

3)

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Какое из следующих утверждений верно?

1)

Основания любой трапеции параллельны.

2)

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

3)

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2)

Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

3)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

2)

В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)

У равностороннего треугольника три оси симметрии.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.

2)

В любой треугольник можно вписать окружность.

3)

Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1)

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)

Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

3)

Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
Укажите номера верных утверждений.

1)

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

2)

Квадрат является прямоугольником.

3)

Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Укажите номера верных утверждений.

1)

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)

Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3)

Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2)

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3)

Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

Укажите номера верных утверждений.

1)

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2)

В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3)

Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Теория по теме «Подобие»

1) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла

Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:


2) Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.


Теорема.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.


Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 67. Найдите площадь треугольника ABC.
На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2м, а длинное плечо 6м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5м?

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 94. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

Лест­ни­цу дли­ной 2 м при­сло­ни­ли к де­ре­ву. На какой вы­со­те (в мет­рах) на­хо­дит­ся верх­ний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла де­ре­ва на 1,2 м?

Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 4 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) под­ни­ма­ет­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го опус­ка­ет­ся на 0,5 м?

По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах.

Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 120 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 330 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми?