Теоремы отсчетов в операциях математического анализа и теории поля

,

Аннотация

При моделировании физических процессов, явлений предлагается использовать Конечномерные Теоремы Отсчетов (КТО) вместо теоремы Винера-Котельникова [1] и конечноразностных схем.

Ведение

Принципиальное уточнение представления функции рядом Фурье состоит в том, что:

,  ,  , N – четно.  (1)

В (1)  – Фурье коэффициенты, а   - ортонормированные дискретные Фурье гармоники (2, 3).

(2)

(3)

“Непрерывные функции” получаются этим же рядом, но только с (маленьким шагом оцифровки) “непрерывными гармониками” (2, 3). Операции математического анализа и теории поля сводятся к операциям над Фурье гармониками и : при - дифференцирование - го порядка и при – интегрирование - го порядка. Заметим, что в нашем случае может быть не целым!


КТО Дан массив отсчетов , матрицы и (3) тогда непрерывная функция

  (4)

проходит через точки отсчетов . Звездочкой * в (4) обозначаем правило “строка - столбец” при умножении матриц и штрихом – транспонирование.

Для доказательства заметим, что это другая запись (1). Равенство следует из того, что матрица унитарная.

При нечетном N (1) в Фурье гармониках будет отсутствовать очень опасный “непарный косинус”, который есть в первой строке (2, 3).

КТО в теории поля

Обратим внимание, на “гладкость результатов” операций теории поля в кубах со стороной 8. Техника тут по сложнее, частные производные, … .

Вихревое поле А

rot(A)

div(rot(A))~1.e-14

Векторное Фурье В=VF(A)

rot(B)

Интерполированный rot(A)

Использование КТО позволяет при моделировании сложных явлений, процессов обходиться без использования конечномерных разностных схем. Техника КТО использовалась и в аналитических расчетах [2, 3].

Литература

1. Fazlollah M. Reza, AN INTRODUCTION TO INFORMATION THEORY, International Student Edition, Tokyo, 1961, 496 p., Library of Congress Catalog Card Number 60-12777

2. Terentiev, E. N., Shugaev, F. V., Shtemenko, L. S., Dokukina, O. I. and Ignateva, O. A., “Modeling of laser beam propagation through the whirlwind”, Proc. SPIE 6215, 86-97(2006).

3.  Shugaev, F. V., Terentiev, E. N., Shtemenko, L. S., Nikolaeva, O. A., Pavlova, T. A. and Dokukina, O. I., “On the problem of beam focusing in the turbulent atmosphere” , Proc. SPIE 6747, (2007).

  4. Terentiev, E. N., Terentiev, N. E. and Poluyanov, Yu. V., "Super resolution, indication of 3D vector fields", The 8th Pacific Symposium on Flow Visualization and Image Processing, Moscow, Russia, August 21st-25th, 3ps, (2011).