На уроках математики

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Содержание

Введение………………………………………………………………..2 Теоретическая часть………………………………………………….. 3 Практическая часть……………………………………………………7 Заключение……………………………………………………………. 14 Список литературы…………………………………………………… 16 Приложения…………………………………………………………...17

1.Введение

Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Актуальность темы. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Объект исследования: функции и их приложения.

Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, показать, что понятие “функция” находит широкое применение в жизни.

Задачи:

изучить историю возникновения понятия «функция»; найти примеры функций в окружающем мире.

Гипотеза: между величинами существует функциональная связь.

Использованные методы:

сбор материала, работа с литературой, опыт, наблюдение, решение задач, анализ, обобщение; изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии); анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме); опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Практическая ценность. Я считаю, что моя работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2.Теоретическая часть

История развития понятия функции.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт (см. приложение №1); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т. д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (см. приложение №2) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница (см. приложение №3) понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т. п.

Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»). Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой.

Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта - функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики (см. приложение №4).

Что такое функция?

Разные ученые выдвигали разные мысли. Но мы хотим вас познакомить одним определением: «Если даны числовое множество X и правило f, позволяющие поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения Х; у = f(x) , хЄХ. При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у - зависимой переменной.»

Функция – это не только математическое понятие, но и:

функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности;

функция персонажа в литературном произведении;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды.

Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.

Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.

С функцией мы встречаемся каждый день.

каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т. е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т. е. тот класс, где данный ученик учится); пришли в магазин, покупаем конфеты. Пусть их цена 100 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 3кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества конфет; ежедневная температура на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.

Способы задания функций.

Существует несколько способов задания функций:

аналитический, словесный, графический, табличный.

Аналитический способ.

Наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у. Пример: у = к х; V = s h ; s = a b

Словесный способ (пословицы, поговорки)

Чем дальше в лес, тем больше дров. Кашу маслом не испортишь. Меньше слов, больше дела. Любишь кататься, люби и саночки возить.

Графический способ.

Распространен и графический способ задания функции. Графиком функции у=f(x), где х из множества Е, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х, у), где х из Е, у=f(x). Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость. (см. приложение №5).

Табличный способ.

При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д.). Этот способ сразу даёт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами.

Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10(см. приложение №6).

3.Практическая часть

Вспомним функции, известные нам из школьного учебника, одновременно повторим и их важнейшие свойства.

Прямая пропорциональность.

Эта функция задается формулой y = ax.

Областью ее определения является множество действительных чисел. Областью ее значений тоже является множество действительных чисел. Графиком функции служит прямая, проходящая через начало координат, причем в случае a > 0 она расположена в I и III четвертях, а в случае a < 0 — во II и IV четвертях. Число a называется - угловым коэффициентом прямой (см. приложение №7).

В зависимости от конкретного смысла переменных и постоянной a функция имеет конкретный практический смысл.
1. Если цену 1 кг какого-то товара обозначить a, количесво - x, то стоимость этого товара y можно вычислить по формуле y = ax.
2.Если вместо a подставить скорость автомобиля, вместо x - время его движения, и вместо y пройденный автомобилем путь, то вновь получим формулу прямой пропорциональности S=Vt.

3.Из учебника физики vы знаеv, что работа постоянной силы F на пути s равна их произведению, т. е. A = F s, это снова та же функция, только a = F, x = s, y = A.

Совершенно разные явления из арифметики, из физики, из геометрии и т. д. описываются одной и той же функцией! А ведь это далеко не все примеры, можно привести еще немало подобных примеров.

Линейная функция.

Она задается формулой y=a⋅x+b. Областью ее определения является множество всех действительных чисел. То же множество является и областью ее значений. Если b = 0, то линейная функция обращается в прямую пропорциональность, поэтому можно говорить, что прямая пропорциональность есть частный случай линейной функции. Графиком линейной функции служит прямая, она пересекает оси координат в точках (0; b) — ось ординат, (−ba;0)(−ba;0) — ось абсцисс. Число а, как и для прямой пропорциональности, называется угловым коэффициентом. Отметим еще два особых случая расположения прямой. Если a = 0 , т. е. y = b, то прямая параллельна оси абсцисс и лежит на расстоянии b от нее. Если же x = c, то прямая окажется параллельной оси ординат и будет лежать на расстоянии c от нее (см. приложение №8).

Конечно, линейная функция тоже имеет большое практическое значение. Вот несколько примеров:

1.Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 120 км. На каком расстоянии s от А будет находиться автомобиль через tч, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 50 км/ч? Ответ будет выражаться линейной функцией вида s =50 t +120 .
2.Свеча длиной 25 см при горении уменьшается на 1,5 см за каждый час. Нетрудно сообразить, что ее длина l через t часов будет составлять

l = 25 - 1,5t.
3. Отправляя телеграмму, мы платим по 3 к. за каждое слово и 10 к. дополнительно. Общая стоимость телеграммы выражается линейной функцией e = 3 x + 10.
Конечно, каждый раз надо думать об области определения — нельзя же отправить телеграмму, содержащую 10,3 слов, или изобразить многоугольник с дробным числом сторон. Но главное мы видим снова — разные явления описываются одинаковой функцией.

Квадратичная функция.

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида где a, b, с - числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел. Функция непериодическая (см. приложение №9).

Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).

Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста.

Именно на эту тему я хочу привести пример решения двух задач прикладного содержания.

Самые красивые мосты – вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. На рисунке изображена схема вантового моста. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.

1.В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста задаётся формулой y=0.005x2−0.74x+25, где x и y измеряются в метрах. Длина одной из вант, расположенной в левой половине моста, равна 13,3 м. Найдите, на каком расстоянии от оси Oy находится эта ванта. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Подставляем длину вант в формулу, получаем квадратное уравнение

0.005x2−0.74x+11.7=0.

Решаем его с помощью дискриминанта Д =b 2 – 4ac

Д = 0,3136

Находим корни уравнения

Х1= 130 Х2=18

Так как по условию надо найти расстояние до ванты в левой половине моста, то, очевидно, что ее координата будет наименьшей среди найденных.

Ответ: 18

2. В этой схеме координат цепь моста имеет уравнение

у= 0,0061х2 - 0,854х + 33, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 50 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Ванта моста - это один из тросов, значит, надо найти длину троса, расположенного в 50 метрах от оси Oy, то есть значение функции

y(x) = 0,0061х2 - 0,854х + 33 при x = 50.

y(50) = 0,0061 * 502 - 0,854 * 50 + 33 = 15,25 - 42,7 + 33 = 5,55.

Ответ: 5,55 метра.

Тригонометрическая функция.

Одними из основных тригонометрических функций являются функции

y = sin(x),

Область определения вся числовая ось. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1]. Функция нечетная. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2р. Графиком является синусоида (см. приложение №10).

y= cos(x).

Область определения вся числовая ось. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1]. Функция четная. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2р. График тоже синусоида, но сдвинутая вдоль оси ОХ на р/2 влево (см. приложение №11).

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: биология, медицина, природа, физика.

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией. Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Так как я учусь на физико-математическом профиле, то меня заинтересовало, как же связаны между собой функции и физика? На уроках физики мы изучали гармонические колебания.

Гармоническое колебание - это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. На бумаге отобразится график движения. Им является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения. (см. приложение № 12).

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Так же функции sin и cos помогают нам решать задачи по другим предметам. Например:

Трактор тащит сани с силой F=50 кН, направленной под острым углом б к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v=3 м/с равна N=Fvcosб. При каком максимальном угле б (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?

Решение:

Подставим все известные в формулу и найдем искомый угол.

75=50∗3∗cosб

cosб=0.5 отсюда б=600.

Ответ 600.

Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. И их тоже можно изобразить в виде графиков.

«Каково проживёшь,

такую славу наживёшь»

«Горяч на почине,

Да скоро остыл»

Применение графиков различных областях.

Современную жизнь невозможно представить без применения графиков. Они стали средством анализа и обобщения. Такие свойства графиков, как выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, смысловая однозначность, интернациональность, легкость кодирования, а также обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской и практической деятельности человечества. Графические методы обработки информации играют исключительно большую роль в энергетике, экологии. Графики вошли в повседневную работу экономистов, статистиков и работников бухгалтерского учета.

В настоящее время ни одна наука не обходится без использования графических методов. Графические методы очень прочно вошли в арсенал средств научного общения и в методику научного исследования.

До выполнения этой работы я и представить себе не мог, как много в нашей жизни значат функции и их графики. Теперь же я знаю, что они встречаются нам буквально на каждом шагу. Есть они даже в стихах.

График функции - множество точек...
Это скользит по поэзии Вашей!
К чему нам значение аргумента?
Абсциссы... расскажут?
Ординаты... подскажут?

Лишь график представит движение мысли... то вверх, а то - вниз...
A, может быть, лучше стоять "на плаву" - так спокойно и чинно,
не думать про "Иксов" и разных причинах?
Ведь "Игрэков" в жизни - не перестроить!
Об этом не буду я с кем-нибудь спорить....
А функция жизни приходит... уходит...
оставив надежду одну... на фортуну.

4. Заключение

В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами

я проанализировал и изучил литературу по истории развития функции, применении её в науке и технике;

познакомился с определением понятия «функция» и способами задания функции; познакомился со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт, измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков; научился применять изученные способы для установления функциональных зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их функциональной зависимости; обобщил сведения об основных функциях, выяснили их связь с повседневной жизнью и устным народным творчеством.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей. Подводя итог, можно сказать, что функции позволяют воспринимать зависимость различных величин, как «живой», изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений, окружающего мира в «динамике». Это помогает проникать в самую суть физических явлений, заданных аналитически, позволяет решать сложные задачи графически, осуществлять переход от формулы к функциональной зависимости величин. Недаром говорят, что «математическими портретами закономерностей природы служат функции». Мне очень нравится строить графики, и я хочу выбрать себе профессию, связанную именно с этим. Но я ещё не совсем определился, в какой области я бы хотел работать. Поэтому тема данной исследовательской работы очень актуальна для меня. Думаю, что она поможет мне сделать выбор.

5.Список литературы.

Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993. «Справочник школьника 5-11 класс» / Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983. Интернет-ресурсы:http://linear function. ru http://ru. wikipedia. org/wiki/ЭТ Макарычев Ю. Н. “Алгебра 7 класс”. – 6-е изд. – М. : Издательство “Просвещение”, 1998. Мордкович А. Г. “Алгебра 7 класс”. – 11-е изд. – М. : Издательство “Мнемозина”, 2008. О, функция, как ты Важна // Математика. – 1999. - №45. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.

6.Приложения.