3.02.

Тема: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Цель: изучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии, закрепить решением упражнений.

ЭТАП АКТУАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ.

Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности чисел:

3, 7, 12, … 28, 31,34…

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите это определение с помощью формулы в справочник на доске и в тетради

Как называется каждый компонент этой формулы?

Как найти разность арифметической прогрессии. Запишите формулу в справочник и тетради.

Найдите разность арифметической прогрессий: 28, 31,…

Скажите, а какой еще формулой можно задать арифметическую прогрессию? Запишите эту формулу?

Продолжите арифметическую прогрессию: 28, 31,34… Ответ: 37,40,43…

Всегда ли удобен такой способ нахождения неизвестных членов прогрессии?

Чем удобнее воспользоваться?

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

ЭТАП ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА И ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ В СТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.

Скажите, сколько времени вам понадобится для того, чтобы сложить, к примеру, все натуральные числа от 1 до 100?

Совершенно не сомневаюсь в ваших способностях. Истории математики известны случаи очень раннего проявления математических способностей.

(ученик выступает с сообщением о юном Гауссе)

Юный Гаусс сам того, не подозревая, вывел формул первых 100 членов арифметической прогрессии.

На этом уроке, подобно Гауссу, мы выведем в общем виде формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Сумму п первых членов арифметической прогрессии принято обозначать как Sn.. Вывод формулы проведем в ходе решения задачи «Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если известны ее первый и n-ый члены.»

(аn) – арифметическая прогрессия.
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an,
Sn = an + an-1 +an-2 + an-3 + … =a2 + a1
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an,
a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 – d) = a2 + an-1 = a1 + an,
a4 + an-3 = (a3 + d) + (an-2 – d) = a3 + an-2 = a1 + an и т. д.
2Sn = (a1 + an)n.

Sn = (a1 + an)n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Sn = (a1 + an)n : 2 , an = a1 + d(n – 1)
Sn = (a1 + a1 + d(n-1))n : 2 = (2a1 + d(n – 1))n : 2

Sn = (2a1 + d(n – 1))n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Используя формулы решите № 000а стр.151

Решите № 000(а) стр.151.

Подготовка к ГИА

Задание 21

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Решение.

Пе­ре­несём две части не­ра­вен­ства в одну часть и рас­кро­ем скоб­ки: при­рав­ня­ем левую часть к нулю и найдём корни. От­сю­да и Рас­ста­вив корни на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, опре­де­лим знаки не­ра­вен­ства, от­сю­да:

Ответ:

Задание 22

Два че­ло­ве­ка од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся из од­но­го и того же места по одной до­ро­ге на про­гул­ку до опуш­ки леса, на­хо­дя­щей­ся в 4 км от места от­прав­ле­ния. Один идёт со ско­ро­стью 2,7 км/ч, а дру­гой — со ско­ро­стью 4,5 км/ч. Дойдя до опуш­ки, вто­рой с той же ско­ро­стью воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. На каком рас­сто­я­нии от точки от­прав­ле­ния про­изойдёт их встре­ча?

Решение.

Вто­рой че­ло­век придёт на опуш­ку через часа. За это время пер­вый пройдёт км, сле­до­ва­тель­но, до опуш­ки ему оста­нет­ся прой­ти 4 − 2,4 = 1,6 км. Те­перь вто­рой пут­ник идёт нав­стре­чу пер­во­му и их встре­ча про­изойдёт через часа. За это время пер­вый че­ло­век успе­ет прой­ти ещё км. Таким об­ра­зом, он пройдёт от точки от­прав­ле­ния 2,4 + 0,6 = 3 км.

Ответ: 3.

Задание 23

При каких зна­че­ни­ях вер­ши­ны па­ра­бол    и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Решение.

Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Дом. задание:

Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой а1 = 6, d = 4. Найдите сумму первых n – членов арифметической прогрессии, 1,6; 1,4; …, если n = 6. Найти сумму натуральных чисел начиная с 20 по 110 включительно. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (аn), в которой  а1 = 6, а7 = 26.

4.02.

Тема: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Цель урока: Формирование навыков решения компетентностных задач на примере использования формул суммы n - первых членов арифметической прогрессии подготовительного характера к итоговой аттестации.

ЭТАП. ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ

1. Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8…Найдите сумму первых пяти её членов.

2. Арифметическая прогрессия(аn) задана условием: аn = 2n -7. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

3. В арифметической прогрессии (аn) а1= 3, а сумма первых семи её членов равна 0. Найдите разность арифметической прогрессии.

4. Школьная бригада красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и тоже число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила60 метров забора. Определите, сколько дней  школьная бригада красила весь забор.

5. Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 ч. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

Как видим, арифметическая прогрессия вокруг нас. Есть она и в заданиях государственной итоговой аттестации. А значит, эти формулы нужно знать и уметь применять. Чтобы определить, как вы разобрались в применении формул, предлагаю вам решить небольшой тест. Тот, кто решит тест, на доске напишите свои ответы.

1. Из предложенных последовательностей выберите ту, которая может являться арифметической прогрессией:

1) 1; 11; 21; 31… 2) 1; 2; 4; 9; 16…

3) 2; 4; 8; 16… 4) 7; 8; 7; 8…

2. Перед вами четыре числа. Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чисел, кратных 5:

1) 25; 2) 30; 3) 40; 4) 35?

3. Чему равна сумма пяти первых членов арифметической прогрессии, если а1=3, а5= 25

1) 65 , 2) 80 , 3) 70, 4) 75

4. Последовательность 4; -6… является арифметической прогрессией. Какое из предложенных чисел будет равно сумме восьми первых ее членов?

1) 312; 2) -24; 3) 77; 4) -248.

Возрастающая прогрессия символизирует прогресс, движение вперед. Если же вернуться к истокам, то можно узнать, что первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 лет. до н. э.) приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры.» В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии.

Приготовить решение этой задачи к следующему уроку предлагается учащимся, проявляющим интерес к математике, ученику, интересующемуся историей в Интернете или энциклопедиях найти историческую справку об этом папирусе.

Для остальных домашнее задание : п.26 выучить формулы № 000, № 000, на повторение № 000

6.02.

Тема: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Цель: Обобщить, систематизировать и проверить знания и умения по теме.

Проверка усвоения изученного материала

1. Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8;…Найдите сумму первых пяти её членов.

2.Арифметическая прогрессия (аn) задана условием: аn = 2n – 7. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

3. В арифметической прогрессии (аn) а1 = 3, а сумма первых семи её членов равно 0. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение упражнений

1 уровень:

1. Успешный предприниматель  решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять: В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов. «Арифметическая прогрессия какая-то получается», - произнес бригадир. Прав бригадир?. Придумайте вопрос к задаче?

2. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т. д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки.  Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов?

3. В  конкурсе экологических проектов  предусмотрено 9 денежных премий. Сколько средств может заработать инициативная группа  школы, побеждая в каждом конкурсе, если первая премия 70 тысяч рублей. Каждая последующая на 5 тысяч меньше.

2 уровень:

1. Группа археологов обнаружила пещеру, вход в которую напоминал колодец. Для спуска нужно было определить длину верёвки. Было принято оригинальное решение. Монета, брошенная в колодец упала на дно через 5 секунд. Какую минимальную длину  должна иметь верёвка, чтобы можно было спуститься на дно колодца.

2. Школьная бригада красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и тоже число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада красила весь забор.

3. Свободно падающее тело в первую секунду пролетает 4 метра, а каждую следующую секунду на 9,8 метра больше. Найти глубину шахты, если тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения.

Дом. задание

Дано: а1=17,6; d = -0,4. Найти а25. Дано: а3 = 7; а9 = -18. Найти: а1; а6; d. Является ли число 25 членом арифметической прогрессии -3; 4; 11; ..., если да, то определите его порядковый номер. Дано: -23; -20; …. Найти: S10. Дано: а1 = -3; а10 = 57. Найти: S10.

8.02.

Тема: «Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена.»

Цель:

    формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии, формирование умений работать с формулами n-го члена прогрессии; сформировать навыки применения формулы при решении упражнений; проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии; проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач; развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей их жизни; продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания; продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры.

Изучение нового материала

Было задано: классифицировать последовательности по правилам их составления:

1, 2, 3, 4, 5… 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001… 10, 14, 18, 22, 26… 9, 9, 9, 9… -5, -10, -20, -40, -80… 0,2; -0,6; 1,8; -5.4;…

  7. 

  8.  -2, -4, -6, -8, -10…

Рассмотрим первую последовательность.

Какие последовательности составлены по этому принципу?

А остальные последовательности составлены по какому правилу?

Запишите недостающие слова в текстах определений.

Запишите реккурентную формулу геометрической прогрессии.

Как вы думаете, какие значения могут принимать ?

По аналогии вывода формулы n-го члена арифметической прогрессии получите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Вельможа Прогрессия умна и забавна, любит играть в прятки. Она постоянно прячет, то одного подданного, то другого, а наша с вами задача принять участие в ее игре и найти затаившееся значение.

-0,5; 1; -2; … 

1; ?; 9; 27;…

5; ?; ?; 40;…

Проверка усвоения нового материала

Задача 1. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.  Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь.

  Мудрец поклонился.

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

  Сета молчал.

  - Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

  - Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

  Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

  - Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

  - Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

  - Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна,  за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться  у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета?

  Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?

  Об этом ты узнаешь чуточку позже.

  А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.

  Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,….

(запиши ее в тетрадь)

  Нетрудно заметить, что члены этой последовательности, начиная со второго, получались путем умножения предыдущего члена на одно и то же число 2.

  Запиши еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, ….

  Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3.

Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями.

  А теперь попробуй сформулировать и записать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

  Обозначим, например, через (bn) - геометрическую прогрессию, тогда по определению

bn+1= bn⋅q, где  bn ≠0, n  - натуральное число, q  - некоторое число.

  Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т. е.

bn+1/ bn = q

  Число q  называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0.

Как найти сумму  всех зерен на шахматной доске?

 

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов. Общее число зерен составит 18 446 744 073 709 551 615. А сумма всех зерен больше триллиона тонн.18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615.

Если бы принцу удалось засеять пшеницей  площадь всей поверхности Земли, считая и моря и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику, и Антарктиду, и получить богатый урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться с просителем. Так стоило ли принцу смеяться?

Выполни самостоятельно:

Найти знаменатель геометрической прогрессии:

а) 3; 6; 12; 24;…

б) 3; 3; 3; 3; …..

в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…

  По аналогии с арифметической прогрессией, выводится формула n-го члена геометрической  прогрессии.

Пусть b1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда:

  b2 = b1 ·q

  b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = d1 · q2

  b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3

  b5 = ………………..= b1 · q4

  Продолжи эту цепочку рассуждений в тетради и вырази bn через b1 и q.

  bn=b1• qn-1 –формула  n-го члена геометрической прогрессии.

Эта формула используется для решения многих задач. Рассмотри примеры решения некоторых задач.

1. В геометрической прогрессии (bn) известны

b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4, bk.

Решение:

       b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18

         b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54

         bk = b1 • qk-1 = -2· 3 k-1

2.Найти пятый член геометрической прогрессии (bn):-20; 40; …. Решение:

Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2.

b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 • 16 = -320

В геометрической прогрессии (xn) найти:

а) x5, если x1 = 16; q = Ѕ

б) x3, если x1 = 3/4; q = 2/3.

в) x10, если x1 = 48; q = -1.

Дом. задание №№ 000 (а), 389 (б), 390 (а)

10.02.

Тема: «Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена.»

Цели: вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; формировать умение применять свойство геометрической прогрессии при решении задач; закрепить умения и навыки применения определения и формулы п-го члена геометрической прогрессии.

Проверка усвоения изученного материала

    Сформулируйте определение геометрической прогрессии; Что называют знаменателем геометрической прогрессии? Назовите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

1) У геометрической прогрессии первый член 8 [9], второй член 4 [3]. Найдите знаменатель q.

2) У геометрической прогрессии первый член 9 [8], второй член 3 [4]. Найдите третий член.

3) Найдите четвертый [шестой] член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель q равен –2.

4) Является ли последовательность степеней числа 2 [3] геометрической прогрессией?

5) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел геометрической прогрессией?

Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации, востребование умения действовать «по аналогии».

Арифметическая прогрессия

(ап)

Геометрическая прогрессия

(bn)

an – 1 = an – d

bn – 1 =

an

bn

an + 1 = an + d

bn + 1 = bn · q

an – 1 + an + 1 = an – d + an + d

an – 1 + an + 1 = 2an

bn – 1 · bn + 1 = · bn · q

bn – 1 · bn + 1 =

Здесь следует обратить внимание учащихся, что при выводе соответствующего свойства для арифметической прогрессии в равенствах у нас были слагаемые d и – d, поэтому для их сокращения требовалось почленно складывать неравенства. Для геометрической прогрессии в равенствах сомножители q и , поэтому следует перемножить равенства.

2. Теперь можно сформулировать  с в о й с т в о  геометрической прогрессии: «Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов».

Как и в случае с арифметической прогрессией, можно доказать обратную теорему, которая будет являться  п р и з н а к о м  геометрической прогрессии: «Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией».

Пусть = bn – 1 · bn + 1, для любого п ≥ 2, так как все числа отличны от нуля, разделим обе части равенства на bn · bn – 1, получим . Это означает, что отношение последующего члена к предыдущему – постоянное число, значит, (bn) – геометрическая прогрессия.

3. Продолжаем действовать по аналогии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии можно переписать и сформулировать по-другому:

= bn – 1 · bn + 1,

, то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов (для арифметической прогрессии речь шла о среднем арифметическом).

IV. Формирование умений и навыков.

В соответствии с поставленными целями на этом уроке следует выполнить следующие группы заданий:

1) Вычисление  п-го  члена  геометрической  прогрессии  по  формуле
(«прямое» применение).

2) Нахождение  знаменателя  и  первого  члена  прогрессии по формуле п-го члена геометрической прогрессии («не прямое» применение).

3) Использование характеристического свойства геометрической прогрессии для нахождения членов и знаменателя геометрической прогрессии.

4) Комбинированные задания.

Кроме того, в некоторых заданиях не указана явно геометрическая прогрессия – ее необходимо «увидеть», задать, обосновать и только затем решать, используя соответствующие формулы.

Упражнения:

№ 000 (а, б), № 000 (а). «Прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии.

№ 000, № 000. «Не прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии, либо на использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

№ 000 (а).

Р е ш е н и е

(сп) – геометрическая прогрессия;

с5 = –6, с7 = –54.

I  с п о с о б.        с5 = с1 · q4

                       с7 = с1 · q6

q2 = , q2 = 9, q = 3 или q = –3.

II  с п о с о б. | с6 | = = 18; значит,

с6 = 18 или с6 = –18, тогда

q = ;  q = = –3 или q = = 3.

О т в е т: 3; –3.

Обычно удобнее решать первым способом, но можно и вторым, способы равносильны.

№ 000 (а), № 000 (б).

№ 000. В  этой  задаче  используются  межпредметные  связи  с  геометрией.

Δ А1ВС1 подобен Δ АВС, и коэффициент подобия равен .

Площади этих треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, значит, , то есть .

Аналогично докажем, что .  И т. д.

Значения площадей треугольников образуют геометрическую прогрессию (хп), где х1 = 768 и q = . Площадь Δ А9ВС9 равна десятому члену этой прогрессии. Вычислим его:

О т в е т: см2.

№ 000. Задача аналогична той, которую решали перед введением понятия геометрической прогрессии.

№ 000. Задание повышенной сложности можно прорешать с учащимися, чтобы закрепить не только навыки применения свойств арифметической и геометрической прогрессии, но и умение действовать по аналогии.

Р е ш е н и е

Пусть a; b; c – арифметическая прогрессия.

По условию  a + b + c = 21 (*) и a;  (b – 1);  (c + 1) – геометрическая прогрессия. По свойству арифметической прогрессии 2b = а + с, значит, из (*) 3b = 21, b = 7.

а + с = 21 – 7 = 14;

с = 14 – а.

По свойству геометрической прогрессии

(b – 1)2 = a · (с + 1);

36 = а (15 – а);

а2 – 15а + 36 = 0;

а = 3 или а = 12, тогда

с = 14 – 3 = 11 или с = 14 – 12 = 2.

О т в е т: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 000 (в, г), № 000 (б), № 000, № 000.