Олимпиада по математике

Олимпиада по математике

8 класс

1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 30°. Какой это треугольник: остроугольный или тупоугольный?  (2 балла)

2. Построить график функции у = │х + 2│+│х - 2│  (2 балла)

3. На боковой стороне BC равнобедренного rАВС взяты точки M и N (M лежит между B и  N) так, что AN=MN и ∠BAM = ∠NAC. Доказать, что ∠МАС = 60°  (3 балла)

4. Упростить выражение

                                (4 балла)

5. Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?                                                                 (5 баллов)

6. Пять участников олимпиады стали ее победителями, набрав по 15, 14 и 13 баллов и заняв соответственно первое, второе и третье места. Сколько участников завоевали каждое призовое место, если вместе они набрали 69 баллов?                                                                                 (6 баллов)

Ответы к олимпиадным заданиям

1. Остроугольный или тупоугольный.

2.

3. ∠MAC = ∠AMN + ∠NAC = 2∠NAC + ∠ABC = 2∠NAC +180° - 2(∠NAC + ∠MAC), ОТКУДА ИМЕЕМ ∠MAC = 180° - 2∠MAC, или ∠MAC = 60°

4. Поскольку

и

, то

.

Ответ: .

5. Нельзя; указание: 1974 делится на 2, но не делится на 4, в то время, как если разность четна, то четны и и , следовательно, делится на 4.

6. Три участника заняли три первых места, значит, набрали 42 балла. Поэтому два других участника набрали 69-42=27 баллов, то есть один из них набрал 14, а другой – 13 баллов, и, таким образом, заняли второе и третье места.