Методические особенности изучения уравнений в начальном курсе математики
К элементам алгебраической пропедевтики относится ознакомление детей с таким важным математическим понятием, как понятие переменной. В учебно – методическом комплексе разработанном уже в теме «Числа от 1 до 10» после введения названий компонентов и результатов сложения и вычитания учащимся предлагаются упражнения, в которых, например, значения слагаемых заданы в табличной форме, требуется найти суммы и заполнить соответствующие клетки таблицы. В дальнейшем вводится буквенное обозначение переменной. Дети учатся находить значения буквенных выражений при заданных числовых значениях входящих в них букв.
Постепенно, начиная с решения подбором примеров вида [] +- 3=7, учащиеся знакомятся с простейшими уравнениями (х . 8=56; х+9=19; х:4=7 и т. п.), у них формируется понятие о том, что значит решить уравнение. В теме «Числа от 1 до 100» программой предусмотрено решение уравнений на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатами действий. В четвертом классе усложняется и структура решаемых уравнений (х *8= 246-86 и т. п.). Это способствует формированию у детей понятий: равенство, левая и правая части равенства верное (неверное) равенство. Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 – м классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи» (см. «Математика 1», ч. 1, урок 15);
? + =
Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в окошке ( см. «Математика 1», ч. 1, урок 20), например:
□ + 2 = 7 5 + □ = 7
7 - □ = 2 □ – 5 = 2
Дети находят числа либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:
- Сколько надо вычесть их 3, чтобы получилось 2?
- Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?
На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения» (термин «корень» вводится в речевую практику, но внимание на нем не акцентируется) (см. «Математика 1», ч. 3, урок 11)
В течении восьми уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучиваются. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому( сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, вычитаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:
- Целое равно сумме частей.
- Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.
Изучение уравнений в начальных классах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программой традиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+=5, 4–=2, –7=3, и т. п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.
На первом этапе уравнения решают на основе знания состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.
На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. В соответствии с действующей программой в 1 классе рассматриваются простейшие уравнения вида х+3=7, 4+х=9, х-2=6, 5-х=3. Чтобы осознать те изменения, которые произошли в методике обучения решению уравнений, остановимся сначала на той методике, которой учителя пользовались ранее. Прежде всего, знакомство с уравнениями каждого вида было разделено во времени. До четвертой четверти учебного года учащиеся решали только уравнения на нахождение неизвестного слагаемого. В основе решения этого вида уравнений лежало усвоение соответствующей терминологии (сумма, слагаемые) и правила нахождения неизвестного слагаемого. Такой подход отличался некоторой формальностью. Решая уравнение вида х+3=5, учащиеся рассуждали: «Здесь известна сумма и одно из слагаемых, а нужно узнать другое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое х=5-3». Для нахождения результата они могли воспользоваться тем или иным вычислительным приемом (например, вычесть из пяти 2 а потом 1) или знанием состава числа 5. Но пользуясь знанием состава числа 5 (5 – это 2 и 3, вычитаем 3, остается 2), они, сами того не осознавая, находили значение неизвестного, уже называя состав числа. Другими словами, учащиеся фактически пользовались подбором, а сама запись решения уравнений носила формальный характер. В связи с тем, что при таком подходе неизвестное в уравнении выступало как число, равное разности между суммой и известным слагаемым, проверка решения уравнения также носила формальный характер, она сводилась только к записи под чертой 2+7=9. Поэтому в тетрадях учащихся часто можно было видеть, например, такие ошибочные записи:
5+х=8 х+7=9
х=8-5 х=9-7
Х=2 х=3
5+2=8 3+7=9
У учащихся как бы не возникало сомнения – раз они применили правило, значит, результат найден, верно. И сколько бы учитель не говорил о необходимости выполнения вычислительной проверки, это давало незначительный эффект.
В четвертой четверти учебного года учащиеся знакомились с правилом нахождения неизвестного уменьшаемого, затем вычитаемого, выучивали эти правила и применяли их при решении соответствующих уравнений. Времени, которое отводилось на решение этих видов уравнений, было недостаточно. Поэтому во II классе многие учащиеся испытывали затруднения и делали ошибки при решении таких уравнений
В учебнике младшие школьники знакомятся с уравнениями и их решением в конце четвертого класса. Такое позднее знакомство с уравнениями обусловлено нацеленностью курса на развитие мышления младших школьников в процессе усвоения программного материала. А поскольку эффективность мышления рассматривается психологами как результат системы знаний, когда разные сведения постоянно сопоставляются друг с другом в самых разных отношениях и аспектах, по - разному обобщаются и дифференцируются, входят в разные цепочки причинно – следственных связей, то необходимо, прежде всего, понимание школьником изучаемых вопросов и осознание взаимосвязи и преемственности между ними.
Какие же изменения внесены теперь в методику обучения решению уравнений? Прежде всего, учащиеся знакомятся сразу с различными видами уравнений. Никакого определения уравнению при этом не дается. Однако учащихся полезно научить узнавать уравнения. Учащиеся должны понимать, что значит решить уравнение (найти такое число, при подстановке которого в данное уравнение получится верное равенство). Для того чтобы учащиеся осознали это и не ориентировались только на правило, используется способ подбора. Рассматривая данный способ видим, что прежде всего он формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений, так как ученик сразу сориентирован на то, что подобранное им число он должен проверить, т. е. подставить число вместо х в уравнение и убедиться, верное или неверное равенство получилось. Ученик может, конечно, при таком подходе сразу назвать правильный ответ, если он усвоил состав чисел.
При нахождении значений числовых выражений ученик может воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Конечно, не обязательно перебирать и проверять все числа. В процессе совершенствования вычислительных навыков (табличное сложение в пределах десяти) учащиеся сразу будут подбирать нужное число, но в любом случае он должен будет осуществлять проверку.
Итак, в концентре «Десяток» одновременно рассматриваются уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого. Решаются они только способом подбора. В соответствии с этим решение уравнений на данном этапе оформляются так, как это показано в учебнике:
Х-4=5 х+4=6 9-х=6
Х=9 х=2 х=3
9-4=5 2+4=6 9-3=6
Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнений и их проверкой, осуществляются устно.
Впервые с решением уравнений на нахождение неизвестного слагаемого с помощью правила, учащиеся знакомятся в концентре «Сотня», т. е. тогда, когда в этом возникает практическая необходимость: способом подбора при больших числах решать уравнения становится трудно. Следует, однако, иметь в виду, что такие уравнения учащиеся могут решать способом подбора.
В третьем классе учащиеся знакомятся с решением составных уравнений. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т. п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:
- решение простых уравнений, анализ решений уравнений по компонентам действий, чтение записи выражений в два – три действия, порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.
На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита.
Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. При решении составных уравнений учитель должен уделять особое внимание проверке. Так как в старших классах бывает трудно сделать проверку к некоторым уравнениям, следует уже в начальной школе сформировать у детей умение выполнять ее сначала письменно, а затем уже и устно. Ведь приучать детей к самоконтролю необходимо с первого класса.
Умение решать сложные уравнения очень помогает при решении задач с составлением уравнений. У учащихся развивается логическое мышление и большой интерес к математике.
Таким образом, при рекомендуемой сейчас методике можно выделить пять этапов в обучении решению уравнений в начальной школе:
- на первом этапе ведется подготовительная работа к решению уравнений;
- на втором этапе учащиеся знакомятся с простейшими уравнениями, решаемыми способом подбора;
- на третьем этапе вводится способ решения уравнений на основе знания зависимости между компонентами и результатом действий сложения и вычитания;
- на четвертом этапе решаются уравнения, где х содержится в качестве сомножителя, а затем те, где х (икс) является делимым.
- на последнем этапе решаются уравнения, где х(икс) является делителем.
Таким образом, в начальной школе в процессе работы над уравнениями закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируются умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи.
