Радианная мера углов (стр. 3 )

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат (на оси Оу значение х=0). Тогда соответствующее значение у =sin0=0, то есть график функции у = sinx проходит через начала координат. Функция обращается в нуль при х =k, при k .

Как видим, наибольшее значение функции sinx равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка, то есть при х =+ 2k, при k .

Наименьшее значение функции sinx равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка, то есть при  х = - + 2k, при k . А так же при  х=

Для построения графика функции у = sinx  на отрезке составим таблицу ее значений:

х	0
у= sinx	0				1

Построим найденные точки и проведем через них кривую, учитывая, что на отрезке функция у = sinx возрастает. Получили график синуса на отрезке . Так как sin(-x) = sin(+x). То график синуса должен быть симметричен относительно прямой  х =. Это позволяет построить график синуса на отрезке . Воспользовавшись нечетностью синуса. Получим график синуса на отрезке симметричным отображением построенной части синусоиды относительно начала координат. Так как на отрезке имеет длину, равную периоду синуса, то график синуса на всей числовой оси можно получить параллельным переносами построенной кривой.

Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у = sin x по точкам и обобщают свойства функции.

На этом этапе учащимся выдаются опорные конспекты (все свойства заносятся в таблицу).

Построение графика функции на отрезке 

Значения синуса положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в 1 и 11 четвертях. Таким образом, sin х>0 на отрезке (2рk; р+2рk), при k .

График функции у = sinx построен.

Промежутки знакопостоянства.

Значения синуса положительны в 1 и 11 четвертях. Таким образом, sin x>0 на отрезке (2 рk ; р+2рk)  k .

Промежутки знакопостоянства. Значения синуса отрицательны в 111 и 1V четвертях. Таким образом, sin x>0 на отрезке (р+2 рk ; 2р+2рk)  k .

Если  хто при увеличении аргумента х ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается. Следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Если  хто при увеличении аргумента х ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается. Следовательно, на этом промежутке функция sin x убывает.

5. Закрепление первичных знаний.

С помощью таблицы и графика функции у = sin x отвечают на теоретические вопросы

Вместе с классом решаются задачи на сравнение;

А)  Сравнить числа

sin 2  и  sin 3 ; sin 1000  и  sin 1300 ;  sin 4  и  sin 2; 

Расположить в порядке возрастания числа
sin 1.9;  sin 3;  sin(-1);  sin(-1.5).

Решение

Числа  sin 1.9 и sin 3 положительны, так как точки Р 1,9 и Р 3 находятся во 2 четверти. Функция у=sinх во 2 четверти убывает.  sin 3 < sin 1.9

Числа  sin(-1)  и  sin(-1.5) отрицательны, так как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 4 четверти.

Функция у=sinх во 4 четверти возрастает..

sin(-1.5) < sin(-1.5)

Ответ: Таким образом, в порядке возрастания эти числа располагаются так:

sin(-1.5);  sin(-1);  sin 3;  sin 1.9.

6. Зарядка для коррекции зрения.

7. Самостоятельное работа.

Работа с таблицей. «Свойства  функции у=соs x и ее график».

D(f)=

E(f)=

T=

Четность:

график симметричен относительно

f возрастает при х

f убывает при х

нули функции: х=

f>0 при х

f<0 при х

у наибольшее=  при х=

у наименьшее=  при х=

8. Преобразование графиков тригонометрических функций.

Сдвиг вдоль оси ординат.

Задача  на построение графиков функций у=sinх+3  и  у=sinх-3

Обсуждение свойств  функции.

Сдвиг вдоль оси абсцисс.

Задача на построение графиков  функций у=sin(х -  )  и  у=соs(х+  )

Обсуждение свойств  функции.

Сжатие и растяжение к оси абсцисс

Задача на построение графиков  функций  у= 3 sinх  и  у= 1/3 соsх

Обсуждение свойств  функции.

Сжатие и растяжение к оси ординат

Задача на построение графиков  функций  у =  sin2х  и  у =  соs

Обсуждение свойств  функции.

9, Историческая пауза об истории тригонометрии.

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.

Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.

Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).