Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке (стр. 15 )

, где при

       

2) Формула трапеций

, получается путем замены интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам т. е. функцией

       =>        || M2i/12

~ = h(0.5f(x0) + f(x1) + f(x2) + ... +        f(xN-1) + 0.5f(xN))

-- составная формула трапеций                 /12 =

3) Формула Симпсона (парабол)

Обозначим:

Ln =  = - Интерполяционный полином в форме Лагранжа, где

,                        f(x) - Ln =

В формуле Cимпсона:        

f(x) ~ L2 ~ { + + }        =        

=  { f(xi-1) - 2 f(xi-1/2) + f(xi) }

=>        

=

|| M4i/2880 ,         || M4/2880

Для любого многочлена 3-й степени:

,

где 

ri(x) = f(x) - H3(x), где H3(x) - многочлен эрмита 3-й степени;

H3(xi-1) = f(xi-1), H3(xi-1/2) = f(xi-1/2), H3(xi) = f(xi) и  - !?

27. Методы Ньютона и секущих для решения нелинейных уравнений.

1. Метод Ньютона

Опр. Корень с называется изолированным на сегменте , если c - внутренняя точка и других корней на нет.

Пусть надо найти корень уравнения , изолированный на сегменте .

Пусть х0 - первое приближение.

Проводя касательные построим

последовательность точек пересечения касательных с осью Ох.

Значения хN получаются по формуле:

т. к. уравнение касательной в т

2. Метод Хорд

Уравнение хорды (секущей), проходящей через точки и

Т. о. значения хN (т. пересечения хорд с осью Ох) получаются по формуле:

3. Обоснование метода Ньютона и хорд

Пусть требуется найти решение уравнения .                                        (*)

Уравнение сводится к (*) путем замены . Тогда:

Опр. Последовательность будем называть итерационной, если выражается по рекурсивной формуле , а в качестве х0 взято число из области определения .

Утв 1. Пусть непрерывна на и , тогда, если , то с является корнем уравнения (*).

Доказательство: Так как непрерывна на . по (*) ! Таким образом: .

Утв 2. Пусть с - корень (*), и пусть в -окрестности точки . Тогда итерационная последовательность т. где сходится к корню с.

Доказательство: Докажем, что по индукции:

по условию. Пусть . Тогда {по теореме Лагранжа}

т. о. и следовательно .