Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке (стр. 17 )

3. Методы Рунге-Кутта.

Явный m-этапный метод Рунге-Кутта:

Пусть  известны, задаются и

и последовательно вычисляются функции:

При схема Эйлера

При

Если то имеем 1-ый порядок аппроксимации.

Если еще 2-ой порядок аппроксимации.

Получили схему метода Рунге-Кутта 2-ого порядка:

При

При

Метод 3- его порядка:

4-ого порядка:

29. Задача Коши для уравнения колебания струны. формула Даламбера

       Уравнение характеристики:         Сделаем замену переменных:

;        

;                

решение 

Т. о. решение уравнения = 0 м. б. представлено в виде (**), т. е. есть функции - общий интеграл уравнения Найдем функции :

- формула Даламбера

Если в формуле Даламбера - дважды непрерывно дифференцируема, - непрерывно дифференцируема, удовлетворяют уравнению и краевым условиям решение, определяемое формулой Даламбера.

30. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения 1-ой краевой задачи.

стержень

-температура в сегменте с координатами x во время t. С боковых сторон стержень теплоизолирован.

Уравнение теплопроводности описывает процесс распространения тепла в твердом теле.

- плотность тепловых источников, - коэффициент температуропроводности

- удельная теплоемкость,  k - коэффициент теплопроводности

ρ - плотность.

Одномерное уравнение теплопроводности: краевые условия

Основные краевые условия:

Первая краевая задача

Вторая краевая задача

Задача Коши

       

Определение: - решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности

(1) - (4), если

( непрерывность вторых производных  по  x и первых по t) удовлетворяет (1)-(4)

По классическому определению, пусть нет 1-ого условия

Уравнению удовлетворяет, но это не разумное решение.

Метод разделения переменных

1)

Решение в виде . Подставляем

деля на

Для удовлетворяющих граничным условиям

⇒ Для получаем задачу Штурма-Лиувилля. Для нее λ при которых ∃ нетривиальное решение - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля. А соответствующая - функция задачи Штурма-Лиувилля.

У такой задачи бесконечно много собственных значений и собственных функций Пусть

-  символ Кронекера

Теперь уравнение для при известном λ:

Следовательно

- решение уравнения (1) и (2) и (3)

Предполагая, что нужные условия выполнены.

Обеспечим выполнение (4)

умножим на и

Надо найти .

, т. е. являются коэффициенты ряда Фурье

Разложим в Фурье по sin

Получим

Теорема (о существовании)

Пусть функция и у задачи (1)- (4) существует решение

( классическое) определяемое формулой (5).