Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке (стр. 9 )

III тип :

1)

а) — эллиптич. цилиндрб) — мнимый эллиптический цилиндр

в) — вырожденный цилиндр ●

2)

a)- гиперболич. цилиндрб) - пара пересек-ся плоскостей

IV тип :

— параболический цилиндр

V тип :

— пара параллельных плоскостей — пара мнимых параллельных плоскостей — пара совпадающих параллельных плоскостей

Билет 12

Система Линейных Алгебраических Уравнений

ax + ax + ... +ax = b                         совместна, если ∃ решение

...

ax + ax + ... +ax = b                 совместно определенна, если ∃ ! решение

Ax = b ; Ax=0 - однородная система (∃ нетривиальное решение)

Утв. Однородная система имеет нетривиальное решение ⇔ rg (A)< n

Т. Кронеккера-Капелли : система совместна ⇔ rg[A|b] = rg A

Док-во:

       ⇒ СЛАУ совместна ⇒ ∃ с1, с2, ...сn : ai1+...aincn ⇒ rg[A|b] = rg A

       ⇐ Пусть rg[A|b] = rg A = r ⇒∃ r базис столбцов в А, он является базисом и для  [A|b]        следовательно b - линейная комбинация.

Ax = b ; A∈Rnxn ; |A|≠0 ⇒СЛАУ совместна и ∃ единственное решение.

Билет 13

Линейный оператор в конечном пространстве, его матрица.

Опр. Пусть даны 2 линейных проcтранства V и W над общим полем P.

Отображение A:V→W называется линейным отображением, если

1) A(x + y) = A(x) + A(y)

2) A(αx) = αA(x)

∀ x, y ∈ V, ∀ a∈P

α(V, W) - множество всех линейных операторов действующих из V в W.

Теорема: e1, e2,... en - базис в V ; g1, g2,... gn - ∀ вектора в W  ⇒ ∃  A∈α(V, W): ∀ i=1..n Aei = gi

Доказательство

∃ :        ∀ x  = ;  A: x→ ⇒Ax =

! :        Пусть  ∃ B∈α(V, W)        : Bei = gi ⇒ Bx = B() =  = = Ax

Определение:

Ae1 = a11f1 + a21f2 +... am1fm 

......                                ⇔ Aij = i=1..n

Aen = a1n f1 +  a2n f +... amnf

матрицы линейного оператора А в базисе векторов e и f

       a11 a12 ...a1n                

       a21 a22 ...a2n                

A =  ......

       am1 am2 ...amn                

               

Определение :

A∈α(V, W)        образом im A = { y∈W| ∃x∈V: Ax= y}

               ядром ker A = {x∈V| Ax = 0}

Определение:

Нормой ЛО єАє =

14. Ортогональные преобразования евклидова пространства. Ортогональные матрицы и их свойства.

Опр. E - евклидово пространство, если ;

Опр. Линейный оператор - ортогональный, если 

Теорема - ортогональный .

Доказательство: .

фиксируем .

.

Опр. Матрица - ортогональная, если .

Утв. о/н базис в - ортогональный ортогональна его матрица в : (собственные значения по мод. = 1)

Доказательство:

и - два ортогональных преобразования.

; ;

- собственная матрица - поворот на

- несобственная матрица - поворот на и отражение.

:

оператора в вещественном пространстве одномерное либо 2-х мерное инвариантное подпространство

действие ортогонального оператора в ортонормированном базисе - последовательные повороты и отражения.

15. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы.

- л. о.

Опр. - собственное значение , если - собственный вектор

Опр. - характеристический многочлен оператора

уравнение - характеристическое уравнение оператора