ГОТОВИМСЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ
(СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ И ОТВЕТАМИ ДЛЯ 8 КЛАССА)
Составитель : учитель математики высшей категории школы № 000
ВАО г Москвы
ЗАДАЧА № 1
Графики трёх функций y = ax+a, y = bx+b и y = cx+d имеют общую точку, причём a 6= b. Обязательно ли c = d? Ответ обоснуйте.
Решение
Ясно, что точка (–1, 0) принадлежит первым двум прямым. Так как a ≠ b, то эти прямые различны, значит, другой общей точки у них нет. Следовательно, точка (–1, 0) принадлежит и графику третьей функции, то есть 0 = – c + d.
ЗАДАЧА № 2 :.
Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD.
Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол BAD:
острым, прямым или тупым.
тупой BAD Угол
Решение
Пусть N – середина ВС, М – середина CD, AN = 2AM.
Первый способ. Через точку М проведём прямую, параллельную ВС. Она пересекает АВ в точке K, а AN – в точке P. Тогда KP – средняя линия треугольника ВAN (рис. слева) и АР = Ѕ AN = AM. В равнобедренном треугольнике APM ∠AMP = ∠APM < 90°. Следовательно,
∠BAD > ∠PAD = 360° – (∠ABM + ∠DMP) – ∠APM = 180° – ∠APM > 90°.
Второй способ. Продлим отрезок АМ до пересечения с прямой ВC в точке L. Треугольники DAM и CLM равны по стороне и двум прилежащим углам (рис. справа). Следовательно, АМ = МL, тогда АL = 2АМ = АN. В равнобедренном треугольнике АNL ∠ ANL = ∠ALN < 90°. Угол ANL – внешний для треугольника AВN, значит, ∠AВN < ∠ANL < 90°. Значит, ∠ВАD = 180° – ∠AВN > 90°.
Ответ: ТУПОЙ
Задача № 3
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
Решение: Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта. Ответ: В Смоленске — 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, в Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.
ЗАДАЧА № 4.
Ученик за одну неделю получил 13 оценок (из набора 2, 3, 4, 5), среднее арифметическое которых — целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз. .
Решение. Допустим противное. Тогда каждую из оценок 2, 3, 4, 5 ученик получил не меньше трёх раз. Возьмём по три оценки каждого вида. Сумма 12 взятых оценок равна 42, а всех 13 оценок — 44, 45, 46 или 47, в зависимости от того, какова оставшаяся оценка. Но ни одно из чисел 44, 45, 46, 47 не делится нацело на 13.
ЗАДАЧА № 5
Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет среди предъявленных?
Ответ. Сможет.
Решение. Очевидно, достаточно показать, что можно за два взвешивания определить количество фальшивых монет среди шести данных. Назовем эти шесть монет неизвестными. Берем три настоящие монеты и три фальшивые, взвешиваем их с неизвестными. Если весы в равновесии, то среди неизвестных монет ровно три фальшивых. Пусть вес эталонных монет больше. Тогда среди неизвестных монет 4, 5 или 6 фальшивых. Возьмём пять эталонных фальшивых и одну эталонную настоящую и взвесим их с неизвестными монетами. При равенстве мы получаем, что среди неизвестных монет ровно 5 фальшивых, если перевесят эталонные — 6 фальшивых, если перевесят неизвестные — 4 фальшивых. Случай, когда при первом взвешивании перевесили неизвестные монеты, рассматривается аналогично, но второе взвешивание производится с 5 эталонными настоящими монетами и одной эталонной фальшивой.
ЗАДАЧА № 6:
Взяли четыре натуральных числа. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, N, где N > 5. Какое наименьшее значение может принимать число N?
Ответ. 14
Решение. Число N может равняться 14, как показывает, например, четвёрка чисел 4, 15, 70, 84. Осталось показать, что N ≥ 14.
Лемма. Среди попарных НОД четырёх чисел не может быть ровно двух чисел, делящихся на некоторое натуральное k. Доказательство. Если среди исходных четырёх чисел есть не больше двух чисел, делящихся на k, то среди попарных НОД на k делится не более одного. Если же три из исходных чисел делятся на k, то все три их попарных НОД делятся на k.
Применяя лемму к k = 2, получаем, что число N чётно. Применяя её же к k = 3, k = 4 и k = 5, получаем, что N не делится на 3, 4 и 5. Значит, N не может равняться 6, 8, 10 и 12.
ЗАДАЧА № 7 :
На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D такая, что BD = AC. Медиана AM этого треугольника пересекает отрезок BD в точке K. Оказалось, что DK = DC. Докажите, что AM+KM = AB.
Решение. Обозначим через L точку, симметричную K относительно M. Тогда
AD = AC – CD = BD – DK = BK = CL.
Поскольку углы BDA и ACL равны как соответственные, а BD = AC по условию, треугольники BDA и ACL равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AB = AL = AM+ML = AM+KM.
Задача № 8
На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними. Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками. Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так, чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?
Ответ. Нельзя.
Решение. Допустим, центр окружности красный. Тогда на окружности 1006 красных и 1007 синих точек, и потому там найдутся две синие точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть синей — иначе найдётся синяя точка, соединённая с одной синей. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть синими — противоречие. Допустим, центр окружности синий. Тогда на окружности найдутся две красные точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть красной — иначе найдётся красная точка, соединённая с двумя синими. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть красными — снова противоречие.
ЗАДАЧА № 9 :
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, причём прямая BE параллельна прямой CD и отрезок BE короче отрезка CD. Внутри пятиугольника выбраны точки F и G таким образом, что ABCF и AGDE — параллелограммы. Докажите, что CD = BE + FG.
Решение. Отметим на отрезке CD такую точку H, что CH = BE. Тогда BEHC — параллелограмм. Значит, отрезок EH параллелен и равен отрезку BC, а, тем самым, и отрезку AF. Следовательно, AFHE — параллелограмм. Теперь получаем, что отрезок FH параллелен и равен отрезку AE, а, тем самым, и отрезку GD. А это значит, что и FGDH — параллелограмм. Следовательно, DH = FG, откуда CD = CH + DH = BE + FG.
ЗАДАЧА № 10
На клетчатой доске размером 2014×2014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером 3×3 клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток? (М. Антипов)
Ответ. 1342.
Решение. Пример. Закрасим в первой вертикали доски вторую, третью, пятую, шестую, …, 2012-ую и 2013-ую клетки. Тогда в всех квадратах 3×3, примыкающих к левому краю доски, закрашено ровно по две клетки, а во всех остальных закрашенных клеток нет. Всего в этом случае закрашено 2⋅2013/3 = 1342 клетки.
Оценка. Пусть на доске закрашено меньше 1342 клеток. Назовём тройку горизонталей доски, идущих подряд, слабой, если в ней есть хотя бы две горизонтали, не содержащие закрашенных клеток. Покажем, что слабые тройки есть. В самом деле, разобьём все горизонтали доски, кроме первой, на тройки идущих подряд. Получим 671 тройку. Если среди них нет слабых, то в каждой содержится не меньше двух закрашенных клеток, и всего закрашено не меньше, чем 671⋅2 = 1342 клетки — противоречие.
Заметим, что найдётся слабая тройка, в которой есть закрашенные клетки. Действительно, возьмём произвольную слабую тройку. Если в ней нет закрашенных клеток, то, двигая её в сторону одной из закрашенных клеток, мы рано или поздно наткнёмся на строку, где закрашенные клетки есть, и получим искомую тройку. Зафиксируем её, удалим из прямоугольника 2014×3, составленного из её горизонталей, три крайние правые клетки, а оставшийся прямоугольник 2013×3 разобьём на 671 квадрат 3×3. В каждом из этих квадратов либо две закрашенных клетки, либо ни одной. Если в каждом по две, то всего закрашено не меньше 1342 клеток — противоречие. Значит, найдётся квадрат без закрашенных клеток. Будем двигать его по горизонтали в сторону ближайшей закрашенной клетки. Когда в него впервые попадёт закрашенная клетка, получим квадрат, в котором закрашена ровно одна клетка — противоречие
ЗАДАЧА № 11
Дано 2014 попарно различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что ни одно из данных чисел не может быть равно произведению шести попарно различных простых чисел.
Решение. Допустим противное: среди данных есть число a, равное произведению шести попарно различных простых. Из равенства ab/(a+b) = b – b2/(a+b) следует, что ab делится на a+b тогда и только тогда, когда b2 делится на a+b. Поэтому если число a есть на доске, то его квадрат должен делиться на все числа вида a+b, где b — другое данное число. Но таких чисел 2013, а у числа a2 только 36 = 729 делителей (это следует из известной формулы для числа делителей, дающей в нашем случае результат (2+1)6, но в данном частном случае его нетрудно получить и непосредственно).
Замечание. Числа 2014 не могло оказаться даже среди 15 выбранных. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что все делители вида 2014+a больше 2014, а таких делителей у числа 20142 ровно (27–1)/2 = 13 < 14: все делители числа 20142, кроме 2014, делятся на пары дополняющих друг друга до 20142, и в каждой паре ровно один делитель больше 2014.
ЗАДАЧА № 12:
Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение: Пусть x — число десятков искомого числа; тогда x+2 — число единиц. Получаем уравнение (10x+(x+2)(x+(x+2))=144 , откуда x=2 и x=−3211
Ответ: 24
ЗАДАЧА № 13:
Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение?
Решение: 1. Пусть цифра единиц истинного множителя есть x (x — целое число, меньшее 10); тогда цифра десятков есть 3x, а сам множитель равен 3⋅10x+x=31x. Ошибочно записанный множитель был 10x+3x=13x. Истинное произведение равно 78⋅31x, ошибочно полученное произведение есть 78⋅13x. По условию 78⋅31x−78⋅13x=2808 , откуда x = 2. Значит, истинный множитель равен 62, а истинное произведение равно 4836 Ответ: 4836
ЗАДАЧА № 14
Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число.
Решение: Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц искомого числа. Тогда само число равно 10x+y. Из условия следует, что x+y=12 и 10x+y+36=10y+x. Получаем систему двух уравнений, которую можно решить методом подстановки: выразить из первого уравнения x и подставить во второе полученное выражение. В результате, x=4 и y=8. Ответ: 48
ЗАДАЧА № 15:
При каких натуральных n число m=3n2+5n+2 : 2n+3 также будет натуральным?
Решение: Выделим целую часть рациональной дроби. Проще всего это сделать, если разделить числитель дроби на знаменатель "уголком". Получаем: m=3n2+14+54(2n+3) . Для того чтобы избавиться от дробей в целой части, умножим обе части равенства на 4: 4m=6n+1+52n+3 . Число 5 имеет делители ±1,±5 . Проверим случаи: а) 2n+3=−1 , тогда n=−2 - не является натуральным числом. б) 2n+3=1 , тогда n=−1 - не натуральное. в) 2n+3=−5 , тогда n=−4 - не натуральное. г) 2n+1=5 , тогда n=1 - натуральное, m=2 - натуральное. Ответ: 1
ЗАДАЧА № 16:
При каких натуральных n дробь 3n+5 : 5n+2 сократима?
Решение: Условие сократимости дает систему из уравнений: 5n+2=a⋅k и 3n+5=a⋅l, где a, k,l∈N, a≠1 . Из первого уравнения n=ak−25 . Подставим n во второе уравнение и получим, что 3⋅ak−25−5=al. Приведем подобные слагаемые. Тогда a(5l−3k)=19 . Так как справа стоит простое число 19, а слева произведение двух целых чисел, то или a=1,5l−3k=19 , или a=19,5l−3k=1 . Первый случай невозможен, так как это означает, что исходная дробь несократима. Значит, дробь сокращается на 19. Осталось выяснить, при каких n это выполняется. Из второго уравнения следует, что k=5l−13 . Далее выделим целую часть дроби: k=l+2l−13 . Так как l, k∈N, то 2l−13 должно быть целым, то есть 2l−1=3m, m∈N. Следовательно, l=3m+12=m+m+12 . Рассуждая аналогично, имеем, что m+1=2p, p∈N, значит, m=2p−1 . Итак, при m=2p−1 , p∈N, дробь 3n+55n+2 сократима. Однако в ответе нужно указать вид числа n. Так как m=2p−1 , то l=2p−1+2p−1+12=3p−1 . Значит, k=l+2l−13=5p−2 и n=ak−25=19p−8 Ответ: при n=19p−8 , p∈N
ЗАДАЧА № 17
Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M.
Решение: Пусть число имеет вид abcdЇЇЇЇЇЇЇЇЇЇ. Тогда a2+d2=58 , c2+b2=68 . И a⋅1000+b⋅100+c⋅10+d+4356 =d⋅1000+c⋅100+b⋅10+a. Складывая числа в разряде единиц, слева получим два возможных варианта: d+6=a (если d+6<10 ) или d+6=10+a (если d+6≥10 ). В первом случае получаем, что (d+6)2+d2=58 и d=−3±20−−√ - не целое. Во втором случае: d=4+a и a2+(4+a)2=58 , откуда a=3 . Тогда d=7 . Аналогично c+3+1=b или c+3+1=10+b. В первом случае получаем, что c2+(c+4)2=68 и c=−2±30−−√ - не подходит. Во втором случае (b+6)2+b2=68 и b=2,c=8 . Ответ: 3287
ЗАДАЧА № 18
Подберите такие не равные нулю числа n и m, чтобы равенство (n·5n)n = m·59 было верным.
Решение. Таких пар чисел бесконечно много.
Покажем одно из самых естественных решений. Нам нужно, чтобы 5 59 2 nn Ч n = mЧ. Если n = 3, то
5 59 2 n = . Теперь вычислим m: m = 33 = 27 . Пара n = 3, m = 27 является решением.
Покажем, как можно получить другие решения. Возьмем произвольное n. Например, n = 6.
Тогда в левой части равенства мы получаем: 66 Ч536 , следовательно, m = 66 Ч527 .
ЗАДАЧА № 19:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут,
а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой
разговор.
Зеленый осьминог: «У нас вместе 24 ноги».
Синий осьминог: «Ты прав!»
Красный осьминог: «Глупости, Зелёный говорит ерунду!»
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ. У Зеленого осьминога 7 ног, у Синего осьминога 7 ног, у Красного осьминога 8 ног.
Решение Из условия задачи следует, что количество ног и правдивость высказываний связаны
однозначно. Синий и Красный осьминоги про слова Зеленого осьминога произнесли
противоречащие друг другу фразы. Значит, кто-то из них сказал правду, а кто-то ложь. А это, в
свою очередь, означает, что у кого-то из них 7 ног. Таким образом, слова Зеленого осьминога –
ложь (в противном случае у каждого из трех осьминогов должно быть по 8 ног, иначе общее
количество ног меньше 24). Подведем итоги: Зеленый осьминог сказал ложь, у него 7 ног; тогда
Синий осьминог сказал ложь, у него 7 ног, а Красный осьминог сказал правду, у него 8 ног.
ЗАДАЧА № 20:
Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма
производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов
увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?
Ответ. На 50%.
Решение.
1 способ. Содержание лимонного сока в напитке после указания генерального директора
снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов можно приготовить в полтора раза больше
лимонного напитка. Иными словами, количество производимого лимонного напитка увеличится в
полтора раза или на 50%.
2 способ. Пусть х – количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда
количество лимонного сока в этом напитке – 0,15·х. Пусть теперь у – количество производимого
напитка после указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке
– 0,1·у. Так как подразумевается, что количество лимонного сока не изменилось, получаем
равенство 0,15·х = 0,1·у. Умножив обе части этого равенства на 10, получим: у = 1,5·х; или: у = х +
0,5·х. Значит, количество производимого напитка увеличилось на 50%.
ЗАДАЧА № 21
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке
возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между
соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.
Ответ. Наименьшая разность равна 1, например, между числами 49999 и 50000.
Решение Разность меньше 1 быть не может, так речь идет про разность различных натуральных
чисел.
Понятно, что если два соседних числа отличаются только в разряде единиц, то разность между
ними равна 5 (например, 523 и 528). Значит, нужно, чтобы числа отличались и в других разрядах.
Можно попробовать взять большее число круглым, тогда числа будут отличаться минимум в двух
разрядах. Возьмем, например, 50, предыдущее число 46, а разность равна 4. Если взять 500, то
предыдущее число 497 и разность равна 3. Осталось подобрать такое число нулей, чтобы разность
была равна 1.
ЗАДАЧА № 22
На стандартном тетрадном листе в клетку нарисован угол (см. рисунок). Найдите его величину,
не используя измерительные инструменты. Ответ обоснуйте.
Ответ. 45°.
Решение. Соединим две «крайние» точки отрезком (как на
рисунке). Получившийся треугольник – равнобедренный, так как
две его стороны АВ и ВС являются диагоналями трёхклеточных
прямоугольников. Диагональ АВ делит угол прямоугольника с
вершиной В на два угла, дополняющих друг друга до прямого.
Треугольники ADB и CEB равны по двум катетам, значит, равны
их соответствующие углы. И значит, угол CBE дополняет угол
ABE до прямого. Таким образом, треугольник АВС –
равнобедренный и прямоугольный. Его углы А и С при основании
АС равны по свойству равнобедренного треугольника и имеют
величину 45° по теореме о сумме углов треугольника.
Комментарий. Если соединить точку В с серединой АС, мы также получим равнобедренный
прямоугольный треугольник. Рассуждения аналогичны.
ЗАДАЧА №23
На координатной плоскости есть точки, координаты (x;y) которых удовлетворяют уравнению
y(x +1) = х2 -1. Например, одна из них – точка с координатами (1;0). Изобразите все точки,
координаты (x;y) которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ. См. рисунок.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
y(x +1) = (х -1)(x +1);
y(x +1)- (x -1)(x +1) = 0;
(x +1)(y - x +1) = 0. Отсюда х = -1 или у = х – 1. Таким образом, все
точки с координатами, удовлетворяющими уравнению,
представляют собой совокупность двух прямых: прямой,
параллельной оси ординат и проходящей через точку (-1;0) и
прямой, являющейся графиком функции у = х – 1 (см. рисунок).
ЗАДАЧА 24:
Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.
РЕШЕНИЕ : Прямоугольник 2nЧ2m разрежем на квадраты 2Ч2. Прямоугольник (2n+1)Ч2m сначала разрежем на прямоугольники 11Ч2m и (2n−10)Ч2m, потом первый разрежем на прямоугольники 1Ч11, а второй — на квадраты 2Ч2. Наконец, прямоугольник (2n+1)Ч(2m+1) сначала разрежем на прямоугольники 11Ч(2m+1), (2n−10)Ч11 и (2n−10)Ч(2m−10), затем два первых прямоугольника разрежем на прямоугольники 1Ч11, а последний прямоугольник — на квадраты 2Ч2.
ЗАДАЧА № 25:
В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C отметили точку N так, что 2BN=AB+BC. Пусть BS — биссектриса треугольника ABC, M — середина стороны AC, а L — такая точка на отрезке BS, что ML∥AB. Докажите, что 2LN=AC.
РЕШЕНИЕ : Продлим BN за N и BL за L на отрезки NN′=BN и LL′=BL соответственно. Так как M — середина AC и ML∥AB, прямая ML содержит среднюю линию MK треугольника ABC. Поскольку L — середина BL′, эта прямая содержит также среднюю линию LK треугольника BCL′; итак, CL′∥LM∥AB. Поэтому ∠CL′B=∠L′BA=∠L′BC, откуда CL′=CB. Далее, CN′=BN′−BC=2BN−BC=BA и ∠N′CL′=∠CBA. Значит, треугольники N′CL′ и ABC равны, и потому AC=N′L′=2LN.
ЗАДАЧА № 26
Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.
Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6
Задача № 27 :
Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.
Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.
