Подготовка к ЕГЭ
по математике
ЗАДАНИЯ типа В12
зачетное задание
(курсы 2010)
составила
учитель МОУ «СОШ №4»
Южноуральск 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Диагностическая работа……………………………………………………………
Решение диагностической работы…………………………………………….....
Тренировочные работы……………………………………………………………
Нахождение процента от числа………………………………………...... Нахождение числа по его проценту…………………………………….. Нахождение процентного отношения чисел………………………….... Задачи на все действия с процентами…………………………………....Самостоятельная работа………………………………………………………....
Ответы………………………………………………………………………...........
Литература………………………………………………………………………....
Задания ЕГЭ, типа В12 (текстовые задачи)
Проценты, сплавы, смеси.
Диагностическая работа.
Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10%-ного раствора было взято? Два сосуда с раствором щёлочи разных концентраций (по объёму) содержат вместе 20 л раствора. Первый сосуд содержит 4 л щёлочи, а второй – 6 л. Сколько процентов щёлочи содержит первый сосуд, если второй содержит щёлочи на 40% меньше первого? Сплав золота с серебром, содержащий 80г золота, сплавили со 100г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве? Два литра 6%-ного уксуса разбавили тремя литрами 1%-ного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе? При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20% от первоначальной прибыли. Сколько процентов прибыли получал магазин до распродажи? Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 тыс. руб. Ещё через год сумма на её счёте составила 60950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной?
Решение заданий диагностической работы.
КОНЦЕНТРАЦИЯ раствора – это процентное отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора.
+ =
30% 10% 15%
(600-х) г х г 600 г
Пусть х г – 10%-ного раствора соляной кислоты, тогда 30%-ного раствора будет (600-х) г. Т. к. масса соляной кислоты в 15%-ном растворе складывается из масс соляной кислоты 30%-ного и 10%-ного растворов, то найдём сначала эти массы.
100% – 600 г15% – ?(г) 600·0,15=90(г) – масса соляной кислоты в
15%-ном растворе;
100% – х г
10% – ?(г) ( 0,1х) г – масса соляной кислоты в
10%-ном растворе;
100% – (600-х) г30% – ?(г) ((600-х)·0,3) г – масса соляной кислоты в
30%-ном растворе;
Составим уравнение:0,1х + (600-х)·0,3 = 90;
0,1х + 180 – 0,3х = 90;
– 0,2х = 90 – 180;
0,2х = 90;
х = 450.
Получили: 450 г 10%-ного раствора было взято.
Ответ: 450 г.
I II
4 л + 6л
щёлочи щёлочи
?% на 40% меньше
20 л раствора
Пусть х л – объём I раствора, тогда (20– х) л – объём II раствора;
Найдём концентрацию каждого раствора:
100% – х(л)?% – 4 л 
·100% – концентрация I раствора;
100% – (20– х) л
? % – 6 л 
·100% – концентрация II раствора.
; ОДЗ: 
Умножим всё уравнение на х·(20– х), получим:
400·(20– х) – 600х = 40х·(20– х);
8000 – 400х – 600х = 800х – 40х2;
40х2 – 1800х +8000 = 0;
х2 – 45х +200 = 0;
х1 = 40, х2= 5.
Получили: т. к. объём одного раствора не может быть больше общего объёма двух растворов, то объём I раствора – 5л, а объём II раствора 20 – 5= 15(л). Тогда I раствор содержит 
·100% = 80% щёлочи.
Ответ: 80%.
I сплав II сплав
80г 180г
золото 100г золото
+ =
?(г) золото ?(г)
cеребро cеребро
на 20% золота >
Пусть х(г) – масса серебра, тогда масса I сплава – (80+х) г, масса II сплава – (180+х) г. Найдём процентное содержание золота:
I сплав 100% – (80+х) г?% – 80 г
– процентное содержание золота в I сплаве;
?% – 180 г
– процентное содержание золота во II сплаве;
; ОДЗ:
разделим всё уравнение на 20, получим
умножим всё уравнение на (80+х)·(180+х), получим
900·(80+х) – 400·(180+х) = (80+х)·(180+х);
72000+900х – 72000 – 400х = 14400 + 180х + 80х + х2 ;
х2 – 240х + 14400 = 0;
(х – 120)2 = 0;
х – 120 = 0;
х = 120;
получили 120 г – масса серебра в сплаве.
Ответ: 120 г.
1 раствор 2 раствор новый раствор
+ =
2 л 3 л 5 л
6% уксуса 1% уксуса ?% уксуса
100% – 2л
6% – ?(л) 2·0,06 = 0,12(л) – объём уксуса в 1 растворе;
100% – 3л
1% – ?(л) 3·0,01 = 0,03(л) – объём уксуса во 2 растворе;
0,12 + 0,03 = 0,15(л) – объём уксуса в новом растворе;
100% – 5л
?% – 0,15л 0,15 : 5 ·100% = 3% – процентное содержание уксуса в новом растворе.
Ответ: 3%.
Прибыль – это разность между ценой товара, которую назначил магазин, и закупочной ценой товара (цена товара, по которой его покупал магазин).
Пусть у – это закупочная цена товара, а х – прибыль, тогда цена товара в магазине – (у + х).
Так как скидка составила 40%, то100% – (у + х)
60% – ? 0,6·(у + х) – новая цена товара;
Так как закупочная цена осталась прежней то0,6·(у + х) – у = 0,6у + 0,6х – у = 0,6х – 0,4у – новая прибыль;
Так как прибыль снизилась до 20% от первоначальной прибыли, то100% – х
20% – (0,6х – 0,4у)
Составим уравнение: (0,6х – 0,4у) : 0,2 = х;
3х – 2у = х;
2х = 2у;
х = у;
т. е. прибыль была равна закупочной цене, поэтому составляла 100%.
Ответ: 100%.
6. Пусть х% – это 100% + % годовые банка.
100% – 20000 руб
вклад (руб)
х% – ?(руб)
годовые 30000 руб
100% - вклад через год (руб)
ещё через год
сумма, которая была на вкладе годовые
х% – 60950руб
100% – 20000 рубх% – ?(руб)
(руб) после 1-ого года;
х% – 60950 руб после 2-ого года;
получим уравнение:
300х + 2х2 = 60950;
2х2 + 300х – 60950 = 0;
разделим всё уравнение на 2, получим
х2 + 150х – 30475 = 0;
Д = 1502 – 4·(– 30475) = 22500 + 121900 = 144400 = 3802;
так как годовой банковский процент по вкладу – величина положительная, то –265 посторонний корень.
Получили 115% – 100% = 15% годовых выплачивает банк по вкладу.
Ответ: 15%.
Тренировочные задания.
Нахождение процента от числа. Банк обещает своим клиентам рост вклада на 10%. Какую сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 4500р.? В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%? В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца? Скорость моторной лодки по течению равна 15,6 км/ч, а скорость против течения на 25% меньше, чем скорость по течению. Найдите скорость движения лодки по озеру. Цена товара сначала уменьшилась на 20%, а затем увеличилась на 25%. Какой стала цена товара после двух изменений, если первоначальная цена составляла 200 рублей. За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей – по 4 балла, двое судей – по 3 балла, остальные – по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9? Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков ещё не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов?
Нахождение числа по проценту. Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на 18%, а затем на 20% и составила 3280р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца? Цена альбома снизилась на 15%, а затем на
от новой цены. Цена альбома после двух снижений составили 30 руб. Какова была первоначальная цена альбома? Токарь получил заказ обработать некоторое число деталей. В первый день он обработал половину всех деталей и ещё 2 детали. А во второй день 25% оставшихся деталей и последние 6 деталей. Какой заказ получил токарь? При использовании воды в системе охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10%. Какой расход топлива будет после удаления накипи, если до её удаления он составляет 8,5 литра на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1. Оля решила купить две книги: первая стоит 56% всех её денег, а вторая – 64%, и поэтому у неё не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе? Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные – 12%. Сколько сушёных грибов получится из 22 кг свежих? Нахождение процентного отношения чисел. В некотором городе единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено 10440 р.? Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. Насколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки? Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника? Число мальчиков в спортивной секции составляет 80% от числа девочек. Какой процент составляет число девочек от числа мальчиков? Цена товара возросла на 25%. На сколько процентов надо её снизить, чтобы получить первоначальную цену?
Задачи на все действия с процентами. В магазине в феврале цена на товар увеличились 50%, в марте – уменьшились на 10%, в апреле – увеличились в 2 раза, в мае – уменьшились в 3 раза. Как изменились цена в мае по сравнению с январём? Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2%? В общественном транспорте города N 14% пассажиров читают фантастику. Из них 73% – мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округлите до десятых. Свежие подосиновики содержат 93% воды (по массе), а в сушеных подосиновиках доля воды 2/9. Какая масса сушёных подосиновиков получится из 20 кг свежих? Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди? В сосуде находится 10% раствор спирта. Из сосуда отлили
содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 
первоначальной массы. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде? Имеются два раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй – 40% цемента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300 кг первого раствора и 400 кг второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе? Самостоятельная работа.
Мальчик в первый день прочитал треть книги и ещё 12 страниц, а во второй день 25% оставшегося числа страниц и последние 9 страниц. Сколько страниц в книге? Все 16 тысяч жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% от их числа являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований? Число женщин, работающих в цехе завода, составляет 25% числа мужчин, работающих в этом цехе. Сколько процентов составляет число мужчин цеха от числа женщин, работающих в этом цехе? Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо её повысить, чтобы получить первоначальную? Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные – 12%. Сколько сушёных грибов получится из 22 кг свежих? За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% – «4», 8 человек – «3», остальные – «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе? Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какова была первоначальная масса сплава, если известно, что она была меньше 20 кг? Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а её себестоимость для завода, которая до этого составляла
отпускной цены, увеличилась на 20%? Бетономешалка содержит раствор цемента, состоящий из цемента, песка и воды. Из бетономешалки вылили 
находящегося в ней раствора цемента, а к оставшейся части добавили некоторое количество песка и некоторое и некоторое количество воды так, что бетономешалка оказалась заполненной на 
первоначального объёма раствора. При этом раствор цемента стал содержать 27% цемента. Сколько процентов цемента изначально было в растворе? Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившимся сплаве? ОТВЕТЫ
№ | Тренировочные задания | Самостоятельная работа | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
4950 | 5000 | 5 | 10 | 36 | |
2 | 74700 | 40 | 20 | 20 | 720 |
3 | 56 | 20 | 50 | 7,2 | 400 |
4 | 13,65 | 7,7 | 125 | 1,8 | 25 |
5 | 200 | 2,5 | 20 | 3 | 2,5 |
6 | 10 | 90 | 8 | 40 | |
7 | 15 | 304 | 10 | ||
8 | 10 | ||||
9 | 35 | ||||
10 | 170 |
Литература
ЕГЭ 2010. Математика Типовые тестовые задания / под ред. , . – М.: Издательство «Экзамен», 2010.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010/ под ред. , . – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009.
Математика. 6 класс. Часть 1. / , . – М.: Издательство «Ювента», 2010.
Проценты на все случаи жизни: Учеб. пособие для учащихся, абитуриентов и учителей. – Челябинск: Юж.-Урал. кн., 1996.
