Треугольники (стр. 3 )

«3»-  правильно выполненные задания №1а, №2а,

«4»- правильно выполненные задания №1аб, №2б, №3а.

«5»-  правильно выполненные задания №1аб, №2б, №3б.

Приложение

Содержание буклета  Элементы треугольника.

< А, < В, < С – углы треугольника

АВ, АС, ВС – стороны треугольника

Признаки равенства треугольников.

Почти вся геометрия со времен «Начал» Евклида строится на основе трех признаках равенства треугольников.

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Приложение   О применении признаков равенства треугольников

Признаки равенства треугольников находят применение в различных областях жизни, облегчают физический труд человека

Задача1

При постройке кровель, мостов, подъемных кранов скрепляют опорные брусья или балки так чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное?

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Поясним, что это означает. Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем (рис.1). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 2).Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Именно поэтому лучшее расположение балок такое.

Задача2.

От пункта А, расположенного на берегу, к пункту В, лежащему на острове, требуется провести телефонную связь. Как не переплывая на остров, определить необходимое количество (длину) телефонного кабеля? Какой признак равенства треугольников здесь можно использовать? (Пункты А и В расположены на берегах, а кабель прокладывается по дну реки, т. е. условно ищем длину отрезка АВ)

Провесив прямую АС, отложим АС = СА1. < САВ измерим астролябией (или теодолитом) и через точку А1 провесим прямую А1В1 так, чтобы < СА1В1 = < САВ. Тогда треугольник АВС равен треугольнику А1В1С (по стороне и двум прилежащим углам). Искомая длина кабеля А1В1.

Задача 3

Найти длину острова АВ, не переплывая на остров.

На берегу выберем точку С, из которой видны точки А и В (рис. 4), провесим прямые АС и ВС. Отложим СА1 = СА, СВ1 = СВ. Расстояние А1В1 будет равно искомому расстоянию АВ, т. к. треугольник АВС равен треугольнику А1В1С по двум сторонам и углу между ними (СА1 = СА, СВ1 = СВ, угол ВСА равен углу А1СВ1, как вертикальные)

Задача 4

.При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500 м. Верно ли сделан вывод? Докажите.

Задача 5

Для нахождения расстояния от точки В до дерева А на другой стороне реки отметили на местности точки C, D и F так, чтобы точка С была серединой отрезка BD и угол BDF был бы равен углу АВС. Наметив прямую AF, проходящую через точку С, измерили одну из сторон треугольника FDC и приняли ее длину за расстояние АВ. Какую сторону измерили? Докажите предположение.

Задача 6

. На рисунке ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Объясните способ измерения озера. Докажите, что АВ=ЕF.

.

Задача 7

Попробуйте следующую задачу решить самостоятельно.

От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры?

Приложение   Задачи на построение

Построение треугольников по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки.

Чтобы построить треугольник, нужно сначала уметь строить отрезок, равный заданному, и угол, равный заданному. Конечно, можно это сделать с помощью линейки с делениями и транспортира, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без делений.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:

анализ; построение; доказательство; исследование

Анализ и исследование задачи необходимы так же, как и само построение. Необходимо посмотреть, в каких случаях задача имеет решение, а в каких – решения нет.

1. Построение отрезка, равного заданному.

Схема №1

2. Строим угол, равный заданному, с помощью циркуля и линейки.

Схема №2.

А вот теперь перейдем к построению треугольников по трем элементам.

3. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Схема №3.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Построить угол А, равный заданному углу. 2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b. 3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с. 4. Соединить с помощью линейки точки В и С. Построен треугольник АСВ по двум сторонам и углу между ними.

Самостоятельная работа к схеме 3.

Вариант 1.  Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4см, С = 35o.

Вариант 2.  Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110o.

Подсказка.  Перед построением треугольника необходимо сделать «от руки» чертеж треугольника, где показаны все заданные элементы.

4. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Схема 4.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Построить угол А, равный заданному. 3. Построить угол В, равный заданному. Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С. Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

Самостоятельная работа к схеме 4.

Вариант 1  Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 130o, О = 20o.

Вариант 2  Построить треугольник ВСР, если< С = 15o,< Д = 50o, СД =3 см.

5. Построение треугольника по трем сторонам.

Схема 5.

Дано	Требуется построить	Построение
1. Построить отрезок АВ, равный заданному отрезку c. 2. Из точки А провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку b. 3. Из точки В провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку a, обе окружности пересекаются в точке С. Построили треугольник АСВ по трем сторонам.

Самостоятельная работа к схеме 5.

Вариант 1.  Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2см, ЕО = 3 см.

Вариант 2  Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4см, ОМ =7 см

  Литература:

, ,  и др.

Геометрия,7-9:  Учебник  для общеобразовательных учреждений - 15  изд.-М. : Просвещение, 2011.

, ,  и др

Изучение геометрии,7-9 класс.-м.,Просвещение,1997г.

История математики в школе,7-8 класс.- М : Просвещение, 1982г.

, ,

Алгебра. Геометрия. 7 класс - изд.8, М.: Илекса, 2008г.

, ,  и др.

Геометрия. Рабочая тетрадь.  7 класс (пособие для  учащихся общеобразовательных учреждений)-М.: Просвещение, 2010г.

,

Дидактические материалы по геометрии 7 класс,- М.: Просвещение, 1998г.

Контрольные работы,  тесты, диктанты  по геометрии ( к учебнику  и др. «Геометрия.7-9 классы»),-  М.: изд.»Экзамен», 2009г.

Геометрия, 7-9 классы.(задачи и упражнения на готовых чертежах).- М.-Харьков, изд. Илекса, 2008г.

Поурочные разработки по геометрии. 7 класс -2-ое издание переработанное и доп.- М.: ВАКО, 2006( В помощь школьному учителю) Изучаем геометрию: Книга для учащихся. - М. : Просвещение, 1998. Планиметрия в упражнениях на готовых чертежах. - М.: Московский репетитор, 1991.

  Список литературы для учащегося

, и др. Геометрия 7 – 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010. . Дидактические материалы по геометрии 7 класс. М.: Просвещение, 2011. Повторяем и систематизируем школьные курс геометрии. М.: Просвещение, 1992 , 3000 конкурсных задач по математике. М.: Рольф,2007 “Все вопросы геометрии” – энциклопедический словарь. Ресурсы интернет. Электронные образовательные ресурсы.

  Интернет ресурсы

  1.  http:///rtr/7-186-1

  2.Математика: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». http://mat. lseptember. ru.

  Инфор­мация и материалы  интернет-ресурсов:

3. Министерство образования и науки РФ:  http://www. /

4. Федеральное государственное учреждение «Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций»: http://www. informika. ru/

5. Тестирование on-line: 5-11 классы:  http://www. kokch. kts. ru/cdo/

6.Путеводитель «В мире науки» для школьников:  http://www. uic. ssu. samara. ru/~nauka/

7.Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega. km. ru/

8.Сайт энциклопедий:  http://www. encyclopedia. ru/